圍繞課程目標(biāo)設(shè)計課堂教學(xué)*
——以“三角函數(shù)”起始課教學(xué)為例

李雙雙

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提出了培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)等課程目標(biāo)。那么，如何理解課程目標(biāo)并在課堂教學(xué)中實現(xiàn)它們呢？為此，筆者請教了專家也研讀了新課標(biāo)相關(guān)解讀文獻(xiàn)，現(xiàn)結(jié)合蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4 第1 章“三角函數(shù)”起始課的教學(xué)實踐，談?wù)勛约旱囊恍┧伎肌?/p>

一、對課程目標(biāo)的理解

新課標(biāo)對于課程目標(biāo)，從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析（簡稱“六大核心素養(yǎng)”），會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、數(shù)學(xué)思維思考世界、數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界（簡稱“三會”）等不同的角度加以論述。新課標(biāo)指出：“‘四基’是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識，掌握基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不斷提升。”［1］因此，筆者以為它們之間的邏輯關(guān)系為“四基”是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是靈魂，“四能”是抓手，“三會”是終極性目標(biāo)。

1.“四基”——課堂教學(xué)的基礎(chǔ)目標(biāo)。

對于“四基”，在每一節(jié)課具體內(nèi)容的教學(xué)中，教師一般都會思考有無夯實基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想。但是，對于“基本活動經(jīng)驗”，很多教師尚未足夠重視，還需要我們在教學(xué)中充分創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生“基于原有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”去“再發(fā)現(xiàn)”地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而在學(xué)習(xí)的過程中不斷豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

2.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)教學(xué)的長期目標(biāo)。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)（以下簡稱“核心素養(yǎng)”）是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是“四基”的繼承和發(fā)展。核心素養(yǎng)的形成不是一蹴而就的，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的。“四基”（尤其是基礎(chǔ)知識）緊密貼合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，因此就具有顯性的特征；而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成隱含于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中，也就具有隱性的特征。這就需要教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，挖掘與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的核心素養(yǎng)目標(biāo)，并且以恰當(dāng)?shù)膯栴}與情景為載體，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)把核心素養(yǎng)作為一個長期的目標(biāo)，融入每一節(jié)課的教學(xué)中。因此在課堂教學(xué)時，我們可以確定兩條目標(biāo)主線：“明線”是“四基”；“暗線”是核心素養(yǎng)。

3.“四能”——數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的抓手。

“四能”的核心是“問題”。課堂教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)以“四能”為抓手，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心；讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中，理解數(shù)學(xué)的概念、掌握數(shù)學(xué)技能、形成數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，經(jīng)歷邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)處理等過程，從而有利于“四基”和核心素養(yǎng)的形成。

當(dāng)然，提高“四能”和“四基”與提升核心素養(yǎng)是相互促進(jìn)的，學(xué)生一旦具備了良好“四基”和核心素養(yǎng)，就能夠基于已有的解決問題的活動經(jīng)驗，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等思維過程，發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題。

4.“三會”——數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)。

“三會”非一朝一夕能夠形成的，它是數(shù)學(xué)教育的終極性目標(biāo)。因此，“三會”這一目標(biāo)并不需要我們在每一節(jié)課上去刻意地關(guān)注和落實。只要我們在平時的教學(xué)中，堅持以學(xué)生發(fā)展為本，發(fā)揮學(xué)生的主體地位，關(guān)注“四能”、夯實“四基”、發(fā)展核心素養(yǎng)，就能夠使學(xué)生逐步學(xué)會“三會”。

二、以課程目標(biāo)為導(dǎo)向的教學(xué)實踐

基于上述理解，筆者執(zhí)教了蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4 第1 章“三角函數(shù)”第1 課時，教學(xué)內(nèi)容包括“章引言”和“任意角”兩個部分。主要教學(xué)環(huán)節(jié)與設(shè)計意圖如下。

1.教學(xué)目標(biāo)的制訂。

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和課程目標(biāo)，確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

（1）初步了解周期現(xiàn)象和本章的主要研究內(nèi)容；了解任意角、正角、負(fù)角、零角、象限角的概念，掌握與給定角α終邊相同的角的表示方法。

（2）通過改變摩天輪的旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)時間等變量，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，感受學(xué)習(xí)任意角的必要性，并借助已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗解決問題，建構(gòu)任意角、正角、負(fù)角、零角、象限角的概念，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

【設(shè)計意圖】首先，關(guān)注“四基”。這里不僅關(guān)注到相關(guān)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想，更重要的是讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)新知識（任意角）的必要性，并借助于已有的活動經(jīng)驗，自我建構(gòu)新的概念，讓學(xué)生獲得更多的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。其次，根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容的特點，確立了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的目標(biāo)。最后，以“四能”為抓手，通過控制摩天輪的旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)時間等變量，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題：初中所學(xué)的角“不夠用”了，需要進(jìn)一步分析問題、提出解決方案。

2.章引言課的教學(xué)。

章引言課的教學(xué)，能夠幫助學(xué)生厘清知識的來龍去脈、縱橫聯(lián)系和可能應(yīng)用，形成全章知識概覽和認(rèn)知思路框架。

筆者由摩天輪引入“周期現(xiàn)象”，經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象，設(shè)計了如下問題，進(jìn)而開啟對任意角的研究。

問題1：如圖1 所示，已知某摩天輪的直徑為100m，按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，6 分鐘轉(zhuǎn)過1 周。若小明從點A 處乘坐摩天輪，旋轉(zhuǎn)1 分鐘時小明所在的位置記為點P，請你用恰當(dāng)?shù)姆椒▉肀硎军cP的位置（相對于點A）。

【設(shè)計意圖】（1）通過章引言課的教學(xué)，讓學(xué)生從整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生厘清“三角函數(shù)”這一章的內(nèi)容與邏輯關(guān)系，整體把握本章的教學(xué)內(nèi)容：幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并初步領(lǐng)會“周期現(xiàn)象”這一數(shù)學(xué)規(guī)律；通過研究圓O上點P位置的三種不同表達(dá)方法——P（r，α），P（r，l）和P（x，y），為本章將要繼續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容做好鋪墊。

（2）著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。首先，通過摩天輪這一實例，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，發(fā)現(xiàn)“摩天輪旋轉(zhuǎn)”這一實例背后所蘊含的周期現(xiàn)象；其次，通過對平面內(nèi)圓O上點P位置的3種不同表示方法的研究，在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的同時，讓學(xué)生全面而深刻地理解數(shù)學(xué)，能夠運用不同的方法表達(dá)具體的問題。

（3）通過“摩天輪旋轉(zhuǎn)”這一實例引入三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，能夠讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活，并為今后運用三角函數(shù)知識來解決與“摩天輪旋轉(zhuǎn)”相類似的應(yīng)用題埋下伏筆。

3.任意角概念的教學(xué)。

筆者在上面問題1的基礎(chǔ)上，繼續(xù)追問。

追問1：經(jīng)過多長時間后，小明還會再一次回到點P位置？小明第2次到達(dá)點P時，一共轉(zhuǎn)過了多少角度？第3次呢？

追問2：若摩天輪按順時針方向旋轉(zhuǎn)（其他條件不變），旋轉(zhuǎn)1 分鐘時小明所在位置記為點Q，從點A 到點Q，轉(zhuǎn)過的角度是多少？第2 次、第3次到達(dá)點Q位置時一共轉(zhuǎn)過了多少角度呢？

問題2：從剛才的摩天輪旋轉(zhuǎn)的實例中，我們發(fā)現(xiàn)過去所學(xué)的角已經(jīng)“不夠用”了，于是我們需要將角的范圍加以擴大，如何來擴大角的范圍呢？

【設(shè)計意圖】（1）讓學(xué)生明白為什么要學(xué)習(xí)“任意角”。由追問1 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)初中所學(xué)習(xí)的0°～360°的角已經(jīng)“不夠用”了，認(rèn)識到將角的范圍進(jìn)行擴充的必要性；再由追問2 讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，并依據(jù)已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，用正角、負(fù)角表示按照不同方向旋轉(zhuǎn)所形成的角。（2）通過改變摩天輪的旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)時間等變量，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，并經(jīng)過自己的思考，初步給出解決問題的方案。在這一學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與類比推理等素養(yǎng)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。進(jìn)一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

4.終邊相同角的教學(xué)。

（1）建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系表示角。

問題3：本章我們將要研究三角函數(shù)，根據(jù)我們前面研究函數(shù)的經(jīng)驗，我們需要在坐標(biāo)平面內(nèi)研究角。你打算如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來研究角呢？有什么好處？

（2）探究終邊相同角之間關(guān)系。

問題4：角-300°，-150°，-60°，60°，210°，300°，420°分別是哪個象限角？其中哪些角的終邊相同？

追問1：從問題4，你發(fā)現(xiàn)終邊相同的角彼此之間有什么關(guān)系？你能寫出與60°角終邊相同的角的集合嗎？

追問2：與角α 終邊相同的角的集合是什么呢？

【設(shè)計意圖】（1）問題3 讓學(xué)生思考“如何建立坐標(biāo)系來研究角”，在這一過程中，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的提高和數(shù)學(xué)建模意識的形成。（2）問題4 及追問1 和2，體現(xiàn)了“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思維過程，符合學(xué)生的認(rèn)知特點，讓學(xué)生在得到與角α 終邊相同的角的集合的表達(dá)形式的同時，理解數(shù)學(xué)的思維方法。（3）在得到了“與角α 終邊相同的角的集合為｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝”后，提出問題“代數(shù)表達(dá)式α＋k·360°（k∈Z）表示的意義是什么？這里反映了一個什么現(xiàn)象？”讓學(xué)生學(xué)會從“數(shù)”與“形”兩個角度思考問題，領(lǐng)會這一表達(dá)式中所蘊含的“周期現(xiàn)象”，加深對周期現(xiàn)象的理解。

三、教學(xué)反思

以上介紹了筆者自己學(xué)習(xí)運用課程目標(biāo)的體會和教學(xué)案例。對于這一節(jié)課，如果我們不去深入挖掘教材內(nèi)容背后所蘊含的學(xué)科核心素養(yǎng)，僅僅關(guān)注知識目標(biāo)，那么對學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的形成是極為不利的，長此以往，課程標(biāo)準(zhǔn)提出的課程目標(biāo)也就難以得到全面落實。因此，在教學(xué)中，要大力培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，讓學(xué)生思考“為什么學(xué)（研究價值）、學(xué)什么（研究內(nèi)容）、如何學(xué)（研究方法）”，以期實現(xiàn)這一輪課程改革提出的課程目標(biāo)。