向量在高中數學解題中的運用探究

■周振歡

作者單位：廣西防城港市北部灣高級中學

向量作為高中數學的重要內容，具有數形結合的特點，在許多數學問題的求解中有著妙用。強化向量在數學解題中的運用，不僅可以鞏固同學們向量學習的效果，對同學們解題能力的培養，以及數學學習效果的系統性提升均有重要的意義。

一、向量在數列解題中的應用

向量與數列的融合是當前數列出題的新現象，命題者多將向量共線條件與數列性質結合起來，此時，同學們若利用向量共線條件，能夠很快地求出答案。

例如，Sn為數列{an}的前n項和，已知an-an+1=d(d∈R)，其中，假設A，B，C均在同一條直線上，且不過點O(0，0)，試求出S200的值。本題從形式上看，屬于典型的數列求和題，但按照一般數列求和的方法來計算，顯然是不合適的，因為題目考查的主要內容是同學們對向量共線定理的掌握情況。在解題時要先利用向量共線定理求出首項及末項的和，再借助數列求和公式求出答案。

二、向量在三角函數解題中的應用

向量在三角函數解題中有著廣泛的應用，而從近年來的高考出題趨勢來看，借助三角函數來考查數量積、向量共線及垂直條件的題目越來越多。

例如，已知向量m=(cosθ，sinθ)，n=，且|m+n|=，求的值。解題時可以借助向量的坐標運算將其轉化為三角函數。從推導出，因為，計算出，結合題目給出的條件θ∈(π，2π)，易知，可以得出0，開方處理后求出。

三、向量在幾何解題中的應用

(1)平面幾何中很多的證明、計算非常復雜，按一般解題思路來求解，步驟非常多，同學們犯錯的概率也比較大。運用向量可以巧妙地將平面幾何的問題轉化為向量問題，再利用向量的計算法則來求解，極大地降低了求解的難度。

例如，已知某△ABC，其中AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，CN和BN相交于點E，若AB=m，AC=n，且∠BAC=60°，則AE的長度為多少?從題目給出的條件，我們可以先設，如此，，問題的復雜性大為降低。

(2)向量在立體幾何的解題中同樣有著重要的應用價值。從出題的角度來看，當前的立體幾何題目多以證明題為主，同學們需要借助公式、定理來證明。一般的做法是遵循轉化思想，將立體幾何求證的內容轉化為平面幾何，再進行處理。但在實際的操作中，很多題目轉化后仍然非常復雜不易求解。對此，運用向量進行證明，往往能夠收到意想不到的效果。

例如，某平行六面體ABCD-A′B′C′D′的底面為菱形ABCD，且∠C′CB=∠C′CD=∠BCD=60°，求證：C′C與BD垂直。同學們通常的做法是利用線面垂直來推導線線垂直，不僅費時費力，且容易求證錯誤。而運用向量能夠極大地簡化問題，，則|a|=|b|。因為，所以b·c-a·c=|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=0，所以，即C′C⊥BD。