高中數學解題中變式訓練應用研究

■蔡曉慶

作者單位：江蘇省蘇州市相城區望亭中學

變式訓練就是通過構造變式，將題目中的條件或者結論進行轉化，從而實現一題多練，有效鍛煉同學們的思維能力，使同學們更加深刻地掌握數學知識，提高數學學習效率。下面具體分析變式訓練在數學解題中的實際應用。

一、一題多變

1.改變表達方式，本質不變。

例1已知點M(-11，14)，N(-12，15)，若是存在一個點O(a，b)與點M，N構成的夾角∠MON恒為直角，求點O的軌跡方程。

變式訓練1：若是過點M(-11，14)的直線l1和過點N(-12，15)的直線l2是垂直的，求垂足O的軌跡方程。

變式訓練2：已知點M(-11，14)，N(-12，15)為兩個定點，使動點O滿足OM垂直于ON，求點O的軌跡方程。

分析：以上兩道變式題的解答需要用到的數學知識點是一致的，但是在數學符號和表達方式上出現了變化，這也是非常常見的變式訓練中的干擾項。同學們在解答題目的過程中，可以運用向量知識、圓的性質定理進行求解，并且將相關的數學知識關聯起來，從而將數學知識有效融合。

2.透過問題看本質。

例2已知△ABC是等邊三角形，過A點作一條直線和BC的中點M相交。求證：AM為∠BAC的角平分線。

變式訓練3：已知等邊三角形△ABC，過點A和BC的中點M作一條直線，求證：AM為BC的垂線。

分析：該題目考查的數學知識為等邊三角形三線合一的性質定理。運用變式訓練解決數學問題就是引導同學們運用等邊三角形的性質去突破題目，從而明白求等邊三角形的角平分線就是求解三角形的垂線或者中線，從而有效調動同學們的思維能力和應變能力，靈活運用數學知識解答數學問題。

二、一題多解

變式訓練中，不僅是改變題目的已知條件或者結論，還可以是一題多解，這也是變式訓練中常見的現象。

1.題設不變，改變問題。這種就是在改變問題的基礎上，讓同學們進行再解答。

例3在橢圓上存在一個點Q，使它與兩個焦點M1，M2的連線相互垂直。當M1，M2與Q三點之間為鈍角時，求點Q的橫坐標的取值范圍。

變式訓練4：在橢圓上存在一個點Q，使之與橢圓的兩個焦點M1，M2的連線相互垂直，求點M的橫坐標的取值范圍。

分析：本題是在原題的基礎上進行拓展訓練，進一步引導同學們運用數學知識分析和解決問題，從而提高數學邏輯推理能力，提高數學學習效率。

2.題干和問題表達同時發生變化。

例4已知圓O的軌跡方程為x2+y2=r2，求經過圓上點Q(x0，y0)的切線方程。

變式訓練5：已知Q(x0，y0)為圓O：x2+y2=r2上的一點(異于圓心)，求直線x0x+y0y=r2和圓O的交點一共有幾個?有什么幾何意義?

變式訓練6：已知點Q(x0，y0)在圓O：x2+y2=r2的外部，那么直線x0x+y0y=r2有什么幾何意義?

分析：對題目進行變式訓練，可以促使同學們從這些類似的題目中加強對數學知識的理解和運用，從而提高自身的應變能力，提高數學學習效率。

結束語：高中數學學習中應用變式訓練解決數學問題，主要就是在題目上設置干擾因素，但是原題的實質性內容不會發生變化，在數學學習中，同學們要改變傳統的解題思路，科學運用變式訓練的方式解決數學問題，從而有效提高自身的綜合素養。