數列與其他知識綜合型問題的求解

■張麗亞

以正整數集或它的有限子集為定義域的、一列有序的數叫數列。數列因其具有離散性、有序性、遞推性、趨向性等特點，使得它與其他數學知識、生活實際之間都有著千絲萬縷的聯系。下面歸類分析。

一、數列與函數的聯系

數列是一種特殊的函數，因此數列常常會與函數交叉在一起出題，考查考生對數列和函數關聯性的理解和應用。

例1數列{an}的通項公式(n∈N*)，記數列{an}的前n項和為Sn，則使Sn＞0的n的最小值為_____。

解析：因函數圖像的對稱中心是，故f(1)+f(2)+…+f(10)=0，即S10=0。當n≥6 時，f(n)＞0，所以a11=f(11)＞0，所以S11＞0，即n的最小值是11。

二、數列與方程的聯系

函數是數列和方程產生聯系的橋梁，因此在有些看似與數列毫無關系的方程問題中，若可以發現題目條件中隱含的數列因素，借助數列的特質，改變原問題的結構，則可以開辟新的解題思路，拓寬思維和視野。

例2解方程。

解析：將方程右邊的1變形為，則成等差數列，借助等差數列即可順利求得其解。

三、數列與生活實際的聯系

這類試題需要考生在讀懂題目所表達的具體含義的基礎上，構建數學模型，并通過觀察所給數列的特征，判斷出該數列的通項公式，進而確定數列的首項或前n項和。

例3為了激發同學們學習數學的興趣，某數學興趣小組的同學經過深入研究推出了一款“解數學題獲取軟件激活碼”的應用軟件。這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數N：N＞100且該數列的前N項和為2的整數冪。那么該款軟件的激活碼是( )。

A.440 B.330 C.220 D.110

解析：由題意可得數列形為：

1，

1，2，

1，2，4，

…

1，2，4，…，2k-1

…