高等數學中數列極限的教學研究

于水源 鮑勇 徐美林

摘 要 高等數學是大學教育的公共基礎課，同時是工科、理科、財經類研究生考試的基礎科目，為學生今后的專業課學習打下夯實的基礎，同時培養學生分析問題、解決問題的能力。極限思想在高等數學中占有很重要的地位，本文以引入，舉例，總結定義，快速幫助學生理解和掌握數列極限課程教學中的重難點，提高學生的學習質量，并且教師可以從知識的來源與內涵中發掘課程的思政元素，促進學生的全面發展。

關鍵詞 思政元素 數列極限 收斂

中圖分類號：G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2020.12.018

Abstract Advanced mathematics is a public basic course in university education， and also a basic subject for postgraduate examination of engineering， science and finance. It lays a solid foundation for students' future professional study and cultivates students' ability to analyze and solve problems. Limit thought plays an important role in higher mathematics. This paper introduces， exemplifies， summarizes the definition to help students quickly to understand and master the key and difficult points in the teaching of sequence limit course， improve students' learning quality， and teachers can explore the ideological and political elements of the course from the source and connotation of knowledge， so as to promote the overall development of students.

Keywords ideological and political elements; sequence limit; convergence

我們在觀察各種自然現象或研究實際問題的時候，會遇到許多的量，這些量一般可分為兩種：一種是在考察的過程中保持不變的量，這種量被稱為常量。還有一種是在這一過程中會起變化的量，稱為變量。初等數學研究的對象是常量，高等數學研究的對象是變量。在同一現象中所碰到的各種變量里，通常并不是獨立變化的，它們之間存在著依賴關系，這種依賴關系就是函數。極限方法是研究變量的基本方法，也是高等數學的核心。

1 教學設計

1.1教學背景

數列極限這個概念是學習導數所必備的知識。極限也是從初等數學的思維方式到高等數學的思維方式的轉變，現已廣泛應用于自然科學、社會科學、技術科學等眾多領域。

1.2教學目標

知識目標：理解數列極限的概念，了解極限的廣泛應用，掌握利用極限的思想解決實際問題的步驟，并能簡單的證明數列極限。能力目標：培養學生在數學方面的抽象性、邏輯性以及嚴謹性的能力。素質目標：提高學生的學習熱情，激發學生學習的興趣，鼓勵學生積極探索知識，多問幾個為什么，不盲從、學以致用。

1.3教學的重難點

教學重點：對數列極限定義的理解，啟發學生對于問題要抓住本質。教學難點：如何從變化趨勢的角度，來理解數列極限的定義。

1.4思路設計（圖1）

1.5板書設計

45分鐘的課堂教學需要使用黑板（如圖2所示），多媒體翻頁后，黑板上的標題會讓學生有清楚的思路。配合課件書寫一些并不復雜的演算過程，從而達到更好的教學效果。

2 教學過程

2.1問題的引入

通過介紹我國古代思想家莊子，激發學生的民族自尊心和愛國主義思想情感。整節課以教師為主導，根據本節課的內容和學生的實際水平，以學生為主體，啟發學生的思維為主線。

春秋戰國時期的莊子在《莊子天下篇》中對“截杖問題”有一段名言：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，有一根一尺長的木棒，第一天，截取木棒的，第二天，截取木棒的，……，第天，截取木棒的，……，這個過程可以無限制的進行下去，雖然是無盡止的，但是可以看到，隨著的無限增大，這一系列變量，，… ，，…，是越來越接近0的，為了研究這種性質，首先引入概念數列，數列是一系列可以無限延長的數字排列，數列是特殊的函數，定義域是正整數集，值域是實數集。這里為一個數列。

2.2問題的分析

我們來看以下的四個數列：

簡單分析一下這幾個數列，第一個數列，隨著項數的不斷增加，數列從1的兩側越來越接近1，越來越接近2，第三個第四個數列沒有這種特性。

一般地，我們說對于數列，當無限增大時，能無限地接近某一個常數，則稱此數列為收斂數列{}，常數稱為它的極限。不具有這種特性的數列就不是收斂數列，稱為發散數列。

那么如何用數學的語言來描繪這種特性，來看這個數列，

（1）首先：隨著項數的增加，越來越接近2。

（2）換句話說：當不斷增大時，和2的差的絕對值越來越接近0。

（3）也就是說：當相當大時，和2的差的絕對值將相當小。

將這句話抽象的概括出來就是數列極限的定義。

2.3 數列極限的定義

設為數列，為給定的實數。若對任給的>0，總存在正整數，使得當，

則稱數列收斂于，定數為數列的極限，記

讀作當趨于無窮大時，的極限等于，或趨于。

2.4 數列極限定義中要注意的四個問題

（1）為任意小的正數，但一經給出，就暫時被確定下來，以便依靠求出。

（2）等等同樣也是任意小的正數。（但是，不是任意小的正數，）。

（3）的表達式不唯一，比如充分大的正數，為充分小的正數。

（4）是相應存在而存在的，暫時固定，確定相應，與有關，但不是的函數。

2.5 用定義證明極限存在的步驟

2.6典型例題

因此以為極限，就是對任意給定的一個開區間（，+），第項以后的一切數（無窮多項）全部落在這個區間內，落在開區間（，+）外的只有有限項。

可以看出，數列是否有極限，只與它從某一項以后有關，而與它前面的有限項無關。因此，在討論數列極限時，可以添加、去掉或改變它的有限項的數值，對數列的收斂性和極限值都不會發生影響。

4 收斂數列的性質

注（1）若每一個部分的極限都存在，則其代數和、乘積、商的極限都存在，且可以把極限符號分給每一個部分。

（2）如果有一個部分極限不存在，則其代數和的極限不存在，乘積、商的極限不確定。

（3）如果有兩個或兩個以上的部分極限不存在，則其代數和、乘積、商的極限都不確定。

定理7（絕對收斂性）（反推不回去）。

5 無窮小量與無窮大量

定義2 若，則稱為無窮小數列（或稱之為無窮小量）。

定理 數列收斂于的充要條件是為無窮小數列。

注 無窮小量的本質是一個變量，而不是一個數值或很小的數。

定義3 若數列滿足：對任意正數，總存在正整數，使得當時，有

由例1知，當時有。于是，當時，上式除了分子分母的第一項分別為與外，其余各項的極限皆為0，故此時所求的極限等于;當時，由于，故此時所求的極限等于0。當，為無窮大量。綜上所述，得到

6 數列極限的應用

意大利的數學家斐波那契，他在1202年提出了一組特殊的數列，

這個數列從第3項開始每一項都等于前兩項之和。

在許多植物身上也有斐波那契數列的身影，比如松果。松果的表面是由順時針方向螺旋鱗片和逆時針方向螺旋鱗片纏繞而組成，順時針方向螺旋數和逆時針方向螺旋數始終是斐波那契數列中兩個挨著的數字，比如5-8型或者13-21型，但是絕不會找到6-9型或者8-11型之類的松果。

如今，斐波那契數列仍然被用來表示種群的動態，探討隨著時間的推移，動物種屬在生態系統下的變化。我們在研究變量的變化過程中，構造數學建模依然會用到數列，已廣泛應用于植物學、經濟學以及氣象學等眾多領域學科。

7 教學實施情況小結及效果分析

本次的教學設計符合本科一年級學生的認知規律和實際水平，教師以古人莊子開始教學內容，將課程思政元素融入數列極限的學習當中，有助于掌握本次的學習內容。理解數列極限的概念，領會極限的思想，更好的掌握數列極限，使學生將枯燥的數學知識與鮮活的生活結合起來，培養了學生的創新精神和獨立思考的能力，更好的完成教學目標。

參考文獻

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