以皓駿設計“三角形內接矩形面積的最值問題”的積件及教學應用

李 莉 張祥婕 唐海明

（[1]廣西師范大學 廣西·桂林 541006；[2]桂林市雁山中學 廣西·桂林 541004）

“三角形內接矩形是指四個頂點都在三角形的邊上的矩形。而求三角形內接矩形的最值”是最值問題中的經典范例。此類問題綜合考察了相似三角形的性質、二次函數性質、矩形的性質，更為學生建立最值問題轉化為函數的最值問題的模型思想鞏固基礎，更是培養學生幾何直觀、邏輯推理、數學建模等數學核心素養的重要載體。本節課的重難點是函數最值問題的模型建立。在傳統“粉筆+黑板”的課堂中，主要是板書作圖和語言直觀，操作繁瑣、不具一般性及推廣性，且難以展現矩形面積隨其邊長變化的動態過程，更難以展現從具體的三角推廣到任意的、一般的三角形內接矩形面積最值以及其他圖形內接矩形最值問題。本文將以Hawgent皓駿從一個具體的題目為例，設計“三角形內接矩形面積最值問題”積件來說明如何運用皓駿積件來剖解教學難點，培養學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界和用數學的語言表達世界的能力。本文首先介紹了Hawgent皓駿制作“三角形內接矩形面積最值問題”積件的設計原理和步驟，然后給出了其在教學中的應用的兩點思考。

1 應用Hawgent皓駿設計“面積最值問題”的原理及制作步驟

1.1 積件的設計原理

設計原理是基于Hawgent皓駿軟件的功能，并遵循矩形面積的算法和二次函數圖象的性質。繪制出三角形內接矩形，并用軌跡刻畫內接矩形面積與其一邊長度之間的關系，測量出內接矩形面積，以便數形結合。提供面積最值問題動態積件的一般做法，可如法炮制到三角形內接正方形、扇形的內接矩形面積的最值問題等。

1.2 積件的制作步驟

1.2.1 繪制三角形

首先，選擇“畫圖工具”，在空白頁任意點擊生成一個點A，選中點A依次點擊“變換”|“數字平移”，輸入x=5，y=0后點擊“確定”得到點B；接著，依次選中點A、點B，點擊“繪制”|“約束點”|“對象上的點”，得到線段AB上的一個自由點C。選中點C，“變換”|“數字平移”，輸入x=5，y=0后點擊“確定”得到點D。然后，依次選中點A、點B、點D，選擇“繪制”|“線段”，得到△DAB。切換到“畫筆工具”，連接點D與點C，得到線段DC也是DAB的高。最后，依次選中點D、點C、點B，點擊“構造”|“標記”。如圖1。

圖1

1.2.2 繪制內接矩形

首先，依次選中點A、點D，點擊“繪制”|“約束點”|“對象上的點”，得到線段AD上的一個自由點E。接著，依次選中點E、線段AB，點擊“繪制”|“垂足”得到垂線EF。然后，依次選中點E、線段AB，點擊“繪制”|“平行線”得到一條平行直線線；依次選中這條平行直線、線段BD，點擊“繪制”|“交點”，得到交點G，選中該平行線，同時按住“Ctrl+H”，將其隱藏。最后，依次選中點G、點E、點F，點擊“繪制”|“四邊形”|“平行四邊形”，得到矩形EFGH。如圖1。

圖2

1.2.3 繪制二次函數

首先，選中線段EG，點擊“測量”|“長度”，得到數據線段EG的長度，其變量名為u000；接著，點擊“繪”制|“一般曲線”|“函數：y=f(x)”，輸入函數f(x)=4x-4/5x^2(根據題目信息，計算出內接矩形面積與x的函數關系式)，a=0，b=u000，樣本點為1000個（目的是讓二次函數圖形更平滑）。最后，點擊“繪制”|“坐標點”，輸入點（u000，4u000-4/5u000^2）得到點 I；點擊“繪制”|“坐標點”，輸入點（u000，0）得到點J，連接線段AJ。如圖2。

1.2.4 美化界面

（1）美化坐標點：選中所有坐標點，點擊“設計”|“點的大小”，點的大小設為1，再點擊“字號”，字號為24。按照題目要求將坐標點的標注修改至于題目一致。

（2）美化線段：選中圖中所有線段，點擊“設計”，雙擊“增加”以此加粗線段。

（3）美化矩形，依次選中矩形的四個頂點，點擊“繪制”|“多邊形”，選中這個多邊形，點擊“設計”|“填充”更改顏色為黑色。

（4）美化二次函數圖象：選中二次函數圖象和線段AJ，點擊“設計”|“線型”|“虛線”，將其設為虛線。

（5）優化坐標系：坐標系，右擊鼠標，在彈出的對話框中點擊“常規”，將y軸的坐標改為“矩形EFPQ的面積”。如圖2。

2 積件的主要教學應用

與傳統教具展示或“粉筆+黑板”的板書相比，本積件能數形結合地直觀展示三角形內接矩形面積的變化過程，靈活應用積件輔助于教學，有可能會提效本節課的教學。

2.1 直觀暴露思維過程，輔助培養幾何直觀

首先根據波利亞解題表，厘清好題目的已知條件、未知條件以及解決問題需要到的由已知條件推理出的隱含條件后，提問學生猜想點E在什么位置時，該三角形內接矩形面積最大？通過猜想的思維體操，鍛煉學生的幾何直觀想象能力。此時輔助以本積件，通過拖動點E，使其在線段AB上運動，引導學生觀察矩形面積的大小變化。接著，通過所繪制的矩形面積與EF長度x的函數圖形，同步追蹤矩形面積與x之間的大小變化關系。數與形的碰撞結合，動與靜的相互交織，以此來驗證猜想，進一步推動擬定計劃的進程。經歷探索、猜想、觀察、驗證的基本活動，體悟數形結合的數學思想，培養幾何直觀的數學核心素養與主動探索的勇敢精神。

2.2 縱橫變式拓展深化，助力鍛煉發散思維

通過“你見過類似的問題嗎？”這個問題，借助題干具體的數值與題目，引導學生進一步推理運算，把矩形的最值問題轉化為二次函數求最值問題，滲透轉化、數形結合思想。此處積件作用有二：其一是，拖動三角形的一個頂點，任意改變三角形的形狀與大小，從特殊到一般，縱向變式探究任意三角形的內接矩形面積最值問題是否有同樣的結論？其二是拖動矩形的一邊使其一組鄰邊相等從而變為正方形，橫向變式探究三角形內接正方形面積最值問題。最后變式升華，扇形、圓形內接矩形的面積最值問題又有怎樣的規律呢？至此，一連串緊湊的題目縱橫向全方位的數學變式基本活動，體現了動態信息技術在較傳統教學的優越性，深化學生對相似三角形的性質、二次函數最值等基本知識的理解，授之以魚；體悟數形結合、轉化與化歸的數學思想，授之以漁；給力學生幾何直觀和數學建模的數學核心素養的發展，授之以愉。