《數學分析原理》中的方法探索與應用

（首都師范大學 北京 100048）

1 分析簡介

本書由實數和復數的簡單討論開始 (第一章)，但這一章的最大亮點是在它的附錄里：戴德金分割。它告訴你如何通過有理數來構造無理數。第二章是基本的拓撲知識，這些都是后面要用的。所以它們看似簡單，但不能忽略。第三章中的數列和極限也是后面要用到的基本知識，這些對於中國的學生也許是不太難的。作者把極限的正式引入推遲到數列的收斂之后 (第四章)顯然符合循序漸進的原則，也是國內大多數教材的思路。積分部分 (第六章)關于黎曼-斯蒂爾吉斯積分的一章是作者在第三版花了較大工夫的部分。這是在初等微積分的基礎上對(實值、復值和向量值)積分概念的嚴格化。注意有些定理是基于黎曼積分進行討論的。函數序列與函數項級數(第七章)是第三章中數列與級數的討論的延伸。這可以說是本書最重要的部分了。本章要解決的是兩個極限交換的問題，魏爾斯特拉斯一致逼近定理起了關鍵作用。有了第七章的準備，作者在下面的一章里討論了一些特殊函數。第九章轉到多元函數。本章里的線性算子就是泛函分析中的更為抽象的 Banach空間中的重要概念。第十章是微分幾何導引。主要是Stokes定理。這里我主要想分享一些由書中知識點得到的一些聯想和啟發。

2 恒等式產生不等式的應用

于是定理保證

y=supE

但y-k＜y，這與y是E的最小上界的事實矛盾。

應用延伸：下述極限存在且有限：

式中，e≈2.7182818稱為自然底數。

證：令 b＞a＞0，有

3 積分的引入

這個思路是幾何學中的經典與精華：證明球的表面積和它半徑與高度都相同的圓柱的表面積，嚴格來說，是沒有上下兩個面的圓柱。把圓柱展開成長方形，長方形的寬是圓柱底面的周長2 R，長方形的高是球的高度，也就是2R，不難發現，長方形面積即球面積表達式4 R2。問題是，球面怎么與柱面聯系起來。基本思路是用許多覆蓋球面的小長方形來估計表面積，然后再將這些小長方形直接向外投影，看看它們是什么樣，就像是由放置在z軸上的小燈，朝著與xy平面平行的方向照出陰影一樣。而令人驚訝的是，小長方形在圓柱面上的投影面積正好等于原始小長方形的面積。其實，這里有一個此消彼長的效應。我們把沿著緯線的邊叫寬，沿著經線的邊叫高。一方面，我們把小長方形向外投影時，它的寬會被放大。對于靠近兩級的小長方形來說，這個長度被放大得很厲害，因為投影的距離相當長，而對于靠近赤道的小長方形來說投影幾乎沒有什么影響，但從另一方面來說，由于這些小長方形和z方向有一定角度，在投影過程中，小長方形的高會被縮小，在這種思路下，靠近極點的小長方形傾斜得很厲害，所以它們的高也會被擠壓得很厲害，而靠近赤道的小長方形基本上和z軸平行，就不會被擠壓太多。最終，這兩種互相競爭的效果，也就是寬度上的拉伸和高度上的擠壓完美地抵消了。當然，關鍵在于說明為什么兩種競爭效果可以抵消。

大體思路是把球面切成許多和xy平面平行的細環，然后對比這些環的面積和環在 xy平面上投影的面積。找到這些環的陰影和球面上偶數號的環之間的對應關系。用 表示環到球心連線和z軸的角度，把相鄰環之間的角度差叫做d，也就是說，每個環的厚度是半徑R乘d，這個環的內側周長是2 Rsin，乘以厚度Rd，就是這個環的近似面積，當你把球面切得越來越細時，這個近似值也越來越準確。而其中一個環在xy平面上的陰影面積是2 Rsin cos d，而每一個環的陰影面積恰好等于球面上每一個環原始面積的一半，這里說的環不是陰影正上方的環，而是距離夾角為2的環（sin2=2sin cos）。即一個半球的表面積是兩個同半徑圓的面積，故一個球的表面積為四個相同半徑圓的面積。

由此我們引入積分的公式及含義，這是讀這本書時我所想補充的。

4 偉大的數學家Cantor

這就證明了A的每個可數子集是A的真子集。因此A是不可數集（否則A將是它自己的一個真子集，這不可能）。

以上證法的思想是Cantor首先使用的，并且稱為Cantor的對角線手法。

叫做Cantor集。P顯然是緊的，而且P不是空集。

如果k和m都是正整數，那么沒有一個形式為

所以P不能含開區間。

Cantor集的一個非常有趣的性質是，它給我們提供了一個測度為0的不可數集的例子。

5 Lebesgue測度的建立

測度空間：假設X是一個集，它不必是歐式空間甚至任何度量空間的子集。如果存在X的子集（稱它們為可測集）組成的—環，及定義在上的一個非負可數可加集函數稱為測度），就說X是測度空間。

由我們所學概率論可以提出一個例子，事件可以看成是集，而事件發生的概率是可加（或可數可加）集函數。