分段壓裂水平井的溫度分布預測模型

羅紅文， 李海濤， 李 穎， 蔣貝貝， 盧 宇， 崔小江

(西南石油大學油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室， 成都 610500)

基于分布式溫度測試(distributed temperature sensors, DTS)、生產測井工具(production logging tool, PLT)等的井下溫度測試越來越多地被用于水平井井下狀況監測，根據測得的井下溫度數據，可以定性判斷產水位置、識別流體類型、監測套管漏失等[1-3]。近年來，井下溫度測試也逐漸被應用于壓裂水平井，用以診斷人工裂縫、評價壓裂改造效果、評價完井效果等[4-7]。通過建立理論模型，井下溫度測試數據還可用于定量解釋儲層參數、裂縫參數、產出剖面預測等。在早期直井溫度模型的基礎之上[8-10]，中外學者在水平井溫度動態研究方面做了大量研究工作，并建立了相應的數學模型。Yoshioka等[11]建立了一套溫度模型用于求解水平油井的溫度、壓力分布，并基于現場溫度測試數據，定量解釋了氣/水流入位置[12-13]。Li等[14]建立了一套瞬態溫度預測模型用以模擬水驅油藏水平井溫度動態，并進行了幾口實例井分析。Zhu等[15-16]提出了一套綜合的油水兩相溫度預測模型，同時還建立起了一套井下溫度數據反演解釋方法，實現了基于溫度測試的水平井產出剖面定量解釋。然而，關于壓裂水平井溫度剖面預測方面的研究相對較少，近年來也有所涉及。Yoshida等[17]建立了一套簡化的頁巖氣藏壓裂水平井穩態溫度預測模型，Cui[18]也建立起了一套頁巖氣井半解析穩態溫度模型，但上述模型均假設儲層為均質，未考慮儲層中的各向異性和模型耦合，模型計算效率也有待提高。

通過上述研究可以看出，盡管諸多學者在水平油/氣井溫度預測方面做了大量研究工作，但關于壓裂水平井溫度剖面預測方面的研究還存在許多不足，尤其是在低滲氣藏壓裂水平井溫度剖面預測方面的研究鮮有涉及。現有壓裂水平井溫度模型多數基于均質儲層假設，未考慮低滲儲層和裂縫中存在的非達西流動，且往往忽略了井筒中摩擦效應對井筒溫度剖面的影響，與低滲氣藏壓裂水平井井下實際情況仍有較大差異。因此，在考慮多種微量熱效應的基礎之上，還考慮了非達西流動和井筒摩擦效應等對壓裂水平井溫度剖面的影響，建立了一套低滲氣藏壓裂水平井溫度預測模型并耦合求解，用以預測低滲氣藏壓裂水平井溫度剖面，從而分析低滲氣藏壓裂水平井溫度分布特征、找到裂縫參數對溫度剖面的影響規律、進行溫度剖面敏感性分析、確定影響低滲氣藏壓裂水平井溫度剖面的主導因素，為實現基于井下溫度測試的產出剖面解釋、裂縫參數解釋和壓裂改造效果定量評價等在低滲氣藏中的應用提供理論基礎，進而為實現低滲氣藏高效開發提供指導。

1 數學模型

建立的溫度預測模型由3部分組成：氣藏模型、裂縫模型、井筒模型(圖1)。每一個部分都包含了對應的滲流模型和熱學模型。基于質量守恒建立的滲流模型和基于能量守恒建立的熱學模型分別用于表征各部分之間的流體交換和熱量傳遞。將建立的儲層模型、裂縫模型和井筒模型耦合求解，即可獲得低滲氣藏壓裂水平井的溫度剖面。

dF表示裂縫間距；wF表示裂縫寬度；xf表示裂縫半長；nF表示裂縫數量；Lx表示儲層寬度；Ly表示儲層長度；Lz表示儲層厚度；xe表示儲層半寬；ye表示裂縫半間距；ze表示儲層半厚度圖1 多級壓裂水平井物理模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of multi-fractured horizontal well

建立的溫度預測模型基于如下基本假設。

(1)封閉邊界的箱型氣藏，儲層等厚，儲層滲透率各向異性。

(2)有限導流的人工裂縫垂直于水平井筒，為等厚的平板狀，裂縫高度等于儲層厚度。

(3)氣藏單相穩態、非等溫滲流，考慮非達西流動的影響。

(4)流體只能通過裂縫流入水平井筒。

1.1 氣藏、裂縫模型

分別建立氣藏、裂縫的滲流模型和熱學模型。滲流模型用以求解氣藏和裂縫中的壓力和流體流量分布，熱學模型用以計算儲層和裂縫中的溫度分布。

1.1.1 滲流模型

由于在某一時刻或較短時間段內，儲層壓力和溫度變化較小，壓裂水平井溫度剖面變化也足夠小[17, 19]，可忽略在某一時刻或較短時間段內流量隨時間變化，因此，建立的氣藏、裂縫滲流模型均考慮為穩態滲流。

根據質量守恒，氣藏穩態滲流模型可表示為[15, 20]

(1)

式(1)中：k為滲透率，mD；ρg為氣體密度，kg/m3；p為儲層壓力，MPa；μg為氣體黏度，mPa·s。

結合真實氣體的狀態方程和擬壓力函數，并考慮非達西滲流，推導的氣藏滲流模型可表示為

(2)

式(2)中：σg為儲層非達西因子；ψ為擬壓力，MPa2/mPa·s。

其中擬壓力函數ψ定義為

(3)

式(3)中：po為參考壓力，MPa；Z為氣體偏差因子。

考慮儲層中的滲透率各向異性，則穩態氣藏滲流模型為

(4)

式(4)中：kx、ky、kz分別為儲層x、y、z方向的滲透率, mD，σgx、σgy、σgz分別為儲層x、y、z方向的非達西因子。

初始條件和邊界條件為

(5)

式(5)中：pi為初始地層壓力，MPa；ψi為初始擬壓力，MPa2/(mPa·s)；Lx、Ly、Lz分別為氣藏在x、y、z方向的幾何尺寸，m；Pwf井底壓力，MPa；ψwf為井底擬壓力，MPa2/(mPa·s)。

同樣地，在人工裂縫中，基質向裂縫中滲流和裂縫中的流動，在某一時刻或較短時間段內可以忽略流量隨時間的變化[18]，也考慮為穩態滲流，且由于裂縫寬度較小，忽略裂縫寬度方向(y方向)上流動，則裂縫中的滲流方程表示為

(6)

式(6)中：ψF為裂縫中的擬壓力，MPa2/mPa·s；σFx和σFz分別為裂縫中x,z方向的非達西因子；qF裂縫中的流體流速，m/s；kF為裂縫中的滲透率，mD；下標F表示人工裂縫。

初始條件和邊界條件為

(7)

式(7)中：xF為裂縫半長，m；h為儲層厚度，m。

1.1.2 熱學模型

基于能量守恒[21]，考慮了包括熱傳導、熱對流、熱膨脹、焦耳湯普遜效應和黏性耗散在內的多種微熱效應，推導的氣藏熱學模型為

qwb=0

(8)

式(8)中：Cp為熱容，J/(kg·K)；β為熱膨脹系數，1/℃；T為儲層中的溫度, ℃；KT為熱導率，J/(m·s·℃)；qwb表示井筒和儲層之間單位體積的熱傳導速率，J/(m3·s)。

巖石和流體的平均熱容為

(9)

考慮儲層中的各向異性，氣藏熱學模型可表示為

(10)

在人工裂縫中，相比熱傳導，由于流體流動引起的熱對流引起的能量變化占絕對主導，且裂縫流動模型中忽略了裂縫寬度方向上的流動，因此裂縫寬度方向上的由于熱傳導引起的能量變化可以忽略，根據式(8)，則有裂縫熱學模型為

(11)

式(11)中：TF為裂縫中的流體溫度, ℃；σF為裂縫中的非達西因子；pF為裂縫中的壓力，MPa；kF為裂縫滲透率，mD；KTF為裂縫中的熱導率，J/(m·s·℃)。

初始條件和邊界條件為

(12)

式(12)中：Twb為井筒中的流體溫度， ℃；Ti為初始地層溫度， ℃；rw為井筒半徑，m;UTt為綜合傳熱系數[2, 15]，J/(m2·s·℃)。

1.2 井筒模型

井筒模型由井筒流動模型和熱學模型組成，基于質量守恒和動量守恒推導的井筒流動模型用以求解井筒中的壓力、流體流量分布，基于能量守恒的熱學模型用以計算井筒中的溫度分布。

1.2.1 流動模型

井筒中任意微元段的流體流動包括兩個部分：徑向的儲層流體流入和軸向的井筒內管流，如圖2所示。經每一條裂縫徑向流入井筒的流體，與井筒內的上游流體在井筒中的裂縫位置處混合，而后一起流向井筒跟端。而對于固井段，則沒有徑向流入的流體。

Rinw為井筒內徑，m；v為井筒中流體流速，m/s；vⅠ為流入流體的流速，m/s；θ 為水平井筒傾角圖2 水平井筒內流體流動示意圖Fig.2 Schematic diagram of flow in the horizontal wellbore

根據質量守恒方程，井筒中的流動模型為

(13)

式(13)中：γ為井筒打開程度[13,16]；pwb為井筒中的壓力，MPa；ρwb為井筒中的流體密度，kg/m3；vwb為井筒中的流體流速，m/s；ρI為流入流體的密度，kg/m3。

根據動量守恒方程，井筒中的壓力梯度方程可表示為

(14)

式(14)中：f為井壁摩擦系數；g為重力加速度，m/s2。

1.2.2 熱學模型

根據能量守恒方程，建立了一維井筒熱學模型，忽略井筒中流體的動能和黏性剪切，則井筒熱學模型可表示為

(15)

式(15)中：TI為流體流入溫度，℃；Twb為井筒溫度，℃；KJT為焦耳湯普遜系數[16, 22]，℃/MPa。

1.3 耦合模型及求解

求解井筒熱學模型可獲得壓裂水平井的井筒溫度剖面，但須先耦合氣藏、裂縫和井筒熱學模型并迭代求解流入溫度TI，然后將耦合求解得出的流入溫度代入式(16)計算井筒溫度剖面。

1.3.1 耦合模型

氣藏、裂縫和井筒熱學模型可以通過熱能源匯項進行耦合[17, 23]，由于裂縫處和固井段的主導傳熱方式不同，因此對于壓裂水平井而言，裂縫處(井筒打開段)和固井段的耦合熱學模型也不同，分別表示如下。

固井段的耦合熱學模型為

(16)

裂縫處的耦合熱學模型為

(17)

1.3.2 模型求解

建立的壓裂水平井溫度預測模型考慮氣藏、裂縫和井筒模型耦合的綜合模型，采用有限差分法編程迭代求解溫度預測模型，即可獲得壓裂水平井溫度剖面，模型求解流程如圖3所示。由于非等溫滲流，流體物性不能視為常數，在迭代計算過程中，還需要對流體物性參數進行修正。

圖3 耦合溫度預測模型求解流程Fig.3 Solution procedure of the coupled temperature prediction model

2 示例分析及模型驗證

計算示例模擬了壓裂水平井定產生產時(產量為10×104m3/d)的井筒溫度剖面，并采用正交試驗分析法進行了壓裂水平井溫度剖面敏感性分析，計算示例所需的基礎參數如表1所示，裂縫參數如表2所示。

表1 計算示例所需的基礎參數Table 1 Basic parameters for the examples

表2 各級裂縫參數Table 2 Fracture parameters of each fracturing stage

2.1 壓裂水平井溫度剖面預測

圖4所示為模擬壓裂水平井的溫度剖面，可以看出，壓裂水平井井筒溫度剖面在裂縫位置處存在著明顯的溫降，這是由于氣體經裂縫流入井筒時，在裂縫根端存在明顯的壓降，壓降引起的焦湯冷卻效應使得流入井筒的氣體溫度降低，從而導致裂縫位置處存在井筒溫降ΔT；而固井段，通過套管熱傳導，儲層不斷地向井筒中傳遞熱量，進而加熱井筒中的流體，使得固井段井筒溫度逐漸升高，裂縫處的溫降和固井段的加熱效應共同作用使得壓裂水平井溫度剖面呈現出“鋸齒狀”。從趾端到跟端，裂縫處的溫降和固井段的升溫交替重復出現，任一“溫降+升溫循環”(即“一個鋸齒”)都對應著一條有效人工裂縫，因此可以根據現場測試的水平井溫度剖面直觀判斷有效裂縫位置。

圖4 壓裂水平井井筒溫度剖面模擬結果Fig.4 Wellbore temperature profiles of the fractured horizontal well

從圖5可以看出，各級裂縫處的井筒溫降基本上與裂縫半長正相關，裂縫半長越大，對應裂縫位置處的井筒溫度越低，這是因為隨裂縫半長的增加，經單一裂縫流入井筒的氣體流量越大，冷卻效應越明顯，使得裂縫位置處的井筒溫降幅度越大。因此，對于現場實測井，可以根據所測的溫度剖面識別有效裂縫，根據實測溫度剖面，計算各級裂縫處對應的溫降，可初步診斷裂縫半長的相對大小。

圖5 壓裂水平井各級裂縫處溫降Fig.5 Temperature drops at each fracture location

通過計算圖6所示的各級裂縫處溫降ΔT與對應裂縫半長xf的比值ΔT/xf發現，盡管各級裂縫半長大小分布無規律(表3)，但從趾端到跟端，各級裂縫的ΔT/xf呈依次遞減趨勢，這是因為從趾端到跟端經單一裂縫流入井筒的流體流量與井筒流量的比值逐漸減小，使得經單一裂縫流入井筒的流體對井筒的冷卻能力逐漸減弱所致。正是基于單相壓裂水平井各級裂縫ΔT/xf所呈現出的這種遞減趨勢，對于出水的壓裂水平井，還可根據所測得的溫度剖面直接識別出水裂縫。因為當某單一裂縫產水或水平井非均勻產水時，產出水所攜帶的熱量將會加熱流入氣體，使得出水裂縫位置處的溫降效應減弱，各級裂縫的ΔT/xf所呈現出的遞減趨勢將會受到影響，找到ΔT/xf偏離上述遞減趨勢的所對應的裂縫，可實現壓裂水平井出水位置定量診斷。

圖6 各級裂縫位置處的井筒溫降與裂縫半長之比ΔT/xfFig.6 The ration of ΔT/xf at each fracture location

2.2 壓裂水平井溫度剖面敏感性分析

影響壓裂水平井溫度分布的因素眾多，采用正交試驗分析法對影響壓裂水平井溫度分布的主要因素進行敏感性分析。選取包括儲層參數、裂縫參數、井筒參數在內的共7個主要影響因素作為正交試驗分析的因素，每個因素取3個參數值(表3)，因此，選用L18(37)的正交表進行正交試驗設計。評價指標采用水平井第一級裂縫位置處的井筒溫度，正交試驗方案及結果如表4所示，并采用極差法對正交試驗結果進行分析，結果表明各因素對水平井溫度剖面的影響程度依次為：裂縫半長>產量>地層滲透率>井筒半徑>地層孔隙度>裂縫導流能力>水平傾角(xf>Qg>k>rw>φ>FCD>θ)，影響溫度剖面的主導因素為裂縫半長、產量和儲層滲透率。

表3 正交試驗分析因素及水平設計Table 3 Analysis factors and designed level of the orthogonal experiment

表4 正交試驗結果及極差分析Table 4 Results and range analysis for the orthogonal experiment

圖7所示為各因素對壓裂水平井溫度剖面的影響規律，可以看出，井筒溫度與裂縫半長、導流能力、地層滲透率、井筒半徑正相關，與產量、地層孔隙度、水平傾角負相關。因為壓裂水平井定產生產時，隨著裂縫半長、導流能力、地層滲透率的增加，生產壓差越小，儲層氣體流入井筒過程中因壓降引起熱損失越小，井筒溫度越高；而井筒半徑越大，克服井筒摩阻引起的熱損失越少，所以井筒溫度越高。隨著壓裂水平井產量的增加，儲層氣體流入井筒引起的冷卻效應越明顯，導致井筒溫度越低；而隨地層孔隙度的增加，儲層流體攜帶熱量向井筒傳導過程中的熱損失越大，但因孔隙度增加而引起的熱損失相對較小[2]，井筒溫度降低幅度并不明顯。受地溫梯度和重力的影響，隨著水平傾角的增加，井筒溫度也略有降低，當水平傾角為正時，水平井跟端溫度甚至會略低于趾端溫度。

圖7 各因素對壓裂水平井井筒溫度的影響規律Fig.7 Influences of each factor on wellbore temperature of the fractured horizontal wells

2.3 模型驗證

以上述示例中的壓裂水平井作為對象，分別采用建立的穩態溫度模型和前文中已建立的一套非穩態溫度模型[19]預測該壓裂水平井生產的溫度剖面，從圖8中可以看出，兩者模擬出的溫度剖面擬合度較高，沿水平井筒的溫度剖面絕對溫度誤差較小，最大溫度誤差為0.005 9 K，遠小于由微熱效應引起的沿水平井筒的溫度變化，可忽略不計，表明采用所建立的穩態溫度模型預測某一具體時刻的壓裂水平井溫度剖面是完全可行的，這也驗證了所建立溫度模型的準確性。學者們也曾討論過壓裂水平井溫度剖面隨時間的變化，研究表明在較短時間段內，由于儲層壓力和溫度變化較小，壓裂水平井溫度剖面變化也足夠小[17, 19]，因此，將氣藏滲流在短時間內處理為穩態滲流的這種假設也是合理的。建立的穩態溫度預測模型的另外一個優勢在于，相比前文的非穩態溫度模型，本文穩態溫度預測模型計算效率有明顯提高，這對于實現基于溫度測試數據的產出剖面、裂縫參數等的快速反演解釋具有重要意義。

圖8 溫度剖面預測結果驗證Fig.8 Validation of the predicted temperature profile

由于產量、裂縫參數等與井筒溫度剖面存在著對應的相關性，可以通過反演現場測得的井下溫度剖面數據，從而實現基于溫度測試的壓裂水平井產出剖面、裂縫參數定量解釋。只要采用合適的反演算法，所建立的溫度預測模型還可作為正演模型，用以預測每一次反演迭代過程中的溫度剖面，為實現壓裂水平井井下溫度剖面反演解釋提供模型基礎。

3 結論

(1)壓裂水平井溫度剖面呈現出“鋸齒狀”，任一“溫降+升溫”循環(“一個鋸齒”)都對應著一條有效人工裂縫，且壓裂水平井各級裂縫處的井筒溫降基本上與裂縫半長正相關；因此可根據現場測試的水平井溫度剖面直觀判斷有效裂縫條數、各級裂縫半長的相對大小；從趾端到跟端，各級裂縫處溫降與對應裂縫半長的比值ΔT/xf依次遞減，基于此，找到ΔT/xf偏離上述遞減趨勢所對應的裂縫，可實現壓裂水平井出水位置定量診斷。

(2)敏感性結果表明各因素對壓裂水平井溫度剖面的影響程度依次為：xf>Qg>k>rw>φ>FCD>θ；井筒溫度與裂縫半長、導流能力、地層滲透率、井筒半徑正相，與產量、地層孔隙度、水平傾角負相關。

(3)建立的模型能較為準確地預測低滲氣藏壓裂水平井溫度剖面，其研究成果為實現基于溫度測試解釋壓裂水平井產出剖面提供了模型基礎和理論支撐，對于壓裂水平井改造效果評價和出水位置定量診斷具有重要的參考價值。