基于慣容器-彈簧-阻尼懸架的履帶機器人平順性仿真分析

樂偉揚， 杜忠華*， 程 志， 卿志勇

(1.南京理工大學機械工程學院， 南京 210094； 2.黑龍江北方工具有限公司， 牡丹江 157000)

地面移動平臺研究領域非常重視復雜路面環境的路面不平度所引起的振動，而行駛平順性是評估傳統車輛的重要指標[1]。

作為新型地面移動平臺的一種，無人化的履帶機器人雖然不需要搭載乘客，但其行駛路面非常復雜，而路面不平度是振動的主要激勵源，當這種振動達到一定程度時，會造成機器人元器件及所配備儀器設備的損壞，影響正常工作的性能，同時路面不平度會引起履帶機器人自身結構的振動。岳杰等[2]的研究表明這類沖擊振動會降低履帶機器人工作的可靠性和穩定性。因此，研究路面隨機激勵對履帶機器人行駛平順性的影響顯得尤為重要。

慣容器-彈簧-阻尼(interter-spring-damper，ISD)懸架系統與傳統懸架相比，引入了慣容器。慣容器是由Smith[3]根據機電相似理論提出的一種具有兩個自由運動端點的機械裝置。毛明等[4]的研究表明，在第二類機電相似理論中，由于質量元件與電容元件不能完全對應，引入慣容的概念，可將慣容與電容對應，解決了質量元件“接地”的難題，由此形成了新機電相似理論。

擁有良好隔振性能的ISD懸架系統被提出后，在方程式賽車、火車、摩托車和輪式車輛等領域有著較為成功的應用研究。Evangelou等[5]在對高性能摩托車的研究中對ISD懸架在摩托車領域的應用進行了分析；Wang等[6]進行了ISD懸架在鐵路機車底盤上的應用研究；謝張軍等[7]進行了面向人體振動響應的ISD懸架座椅性能分析研究，證實了ISD懸架在乘用車領域的應用價值；付裕等[8]進行了在考慮彈簧非線性情況下的ISD懸架振動特性的分析研究。許多學者也進行了混聯ISD懸架和互聯ISD懸架等新形式ISD懸架的研究。Xiao等[9]進行了兩級串聯ISD 懸架的研究；張孝良等[10]進行了混聯ISD懸架的研究；汪若塵等[11]進行了液壓互聯ISD懸架的研究。代健健等[12]在對履帶車輛懸掛系統的發展趨勢分析中指出了ISD等新形式的懸架系統在履帶車輛中的應用價值，但目前針對ISD懸架性能的研究多以輪式車輛為主，ISD懸架系統在履帶機器人領域的應用研究較少。

現采用濾波白噪聲法，利用MATLAB/Simulink生成路面不平度時域模型作為輸入的系統激勵，基于拉格朗日方程建立采用ISD懸掛的履帶機器人的1/2移動平臺8自由度動力學模型，利用MATLAB/Simulink進行仿真分析，對ISD懸架在履帶機器人方案中的使用價值進行驗證。

1 建立隨機路面模型

1.1 隨機路面時域模型

路面不平度是車輛行駛過程中振動的主要原因，因此路面不平度多作為車輛研究時懸架系統的外部輸入。大量的測量分析結果表明，路面不平度是時間域或空間域的隨機過程，具有隨機、零均值、平穩和各態歷經的特性，通常用空間頻率功率譜密度函數及其在時域中的形式描述[13]。在實際工程中，路面不平度可由路面不平度系數擬合的功率譜密度(power spectral density, PSD)來評價，并可利用統計參數所描述的路面功率譜進行道路模擬、車輛平順性和懸掛特性的研究[14]。根據國際標準化組織(ISO)的文件ISO/TC108/SC2N67和 《車輛振動輸入——路面平度表示方法》(GB 7031—86)，推薦路面不平度位移功率譜密度擬合表達式[15]為

(1)

式(1)中：n為空間頻率，表示每米長度中包含n個波長，m-1；n0為參考空間頻率，n0=0.1 m-1；Gq(n0)為參考空間頻率n0下的路面譜，稱為路面不平度系數，m2/m-1，該值取決于車輛行駛的路面等級；w為頻率指數，它決定路面譜的頻率結構，通常取w=2。

在分析行駛平順性時，除了路面不平度外，車輛振動系統的輸入還考慮車輛的速度。在將車輛的速度作為輸入的情況下，將空間頻率功率譜密度Gq(n)轉換為時間頻率功率譜密度Gq(f)，則

(2)

式(2)中：f為時間頻率，s-1；u為車速，m/s。

(3)

對于平穩的高斯隨機過程，濾波白噪聲法、諧波疊加法、隨機序列生成法等方法均可在時域中生成隨機路面模型。采用濾波白噪聲法生成隨機路面模型，因此，基于隨機濾波白噪聲法的道路功率譜密度可以表示為

(4)

q=G(iω)w

(5)

式中：σ2是隨機白噪聲w的方差，取值為1；q是路面不平度的位移；通常f0為0.068 Hz。

如果用角頻率ω,(rad/s)表示，則可以改寫為

(6)

因此傳遞函數G(iω)可以寫為

(7)

時域中的路面不平度可以表示為

(8)

式(8)中：n∞表示下限空間頻率；q(t)表示路面不平度的輸入；Gq(n0)表示路面不平度系數的幾何平均值；w(t)表示平均值為0的高斯白噪聲。

1.2 利用MATLAB/Simulink生成隨機路面模型

根據Gq(n)取值的不同，GB 7031—86將路面不平度分為A～H 8個等級，具體如表1所示。

表1 路面不平度8級分類標準Table 1 Road roughness eight-level classification standard

根據式(8)，得到基于MATLAB/Simulink的路面時域模型，如圖1所示。

圖1 路面仿真模型Fig.1 Pavement simulation model

白噪聲模塊的采樣時間設置為10 ms。取履帶機器人運行速度u=10 m/s。根據路面不平度Gq(n0)的8個標準等級，C級路面不平度系數的幾何平均值為256×10-6m3。該模型生成的C級路面隨機激勵時域模型如圖2所示，顯示了在仿真時間50 s內路面高程相對于參考平面的變化。

圖2 基于濾波白噪聲法的C級路面隨機激勵時域模型Fig.2 Time-domain model of C-level pavement random excitation based on filtered white noise method

2 建立履帶機器人行駛動力學模型

2.1 履帶機器人1/2移動平臺8自由度模型

履帶機器人行駛動力學模型是一個復雜的非線性系統。由于存在履帶效應，即在履帶機器人行駛時，履帶濾波作用會改變路面對機器人的激勵；另外，履帶的漲緊力對履帶機器人的振動情況也會產生影響；出于分析方便的考慮，將負重輪、履帶以及地面三者之間的作用關系簡化為負重輪與濾波路面高程之間的等效剛度形式[16]。

ISD懸架相較于傳統被動懸架，增加了“慣容器”作為新型儲能元件。慣容器的動力學特性是作用在兩端的力與兩端點間的相對加速度成正比，如式(9)所示，其符號表示如圖3所示。

圖3 慣容器的符號表示[6]Fig.3 Symbolic representation of inerter[6]

(9)

在ISD懸架中，慣容器作為一種新型儲能元件能夠緩和地面沖擊，但慣容器無獨自承擔靜載荷的能力，因此仍需由彈簧承載靜載荷的作用[8]，于是形成了圖4所示的慣容器-彈簧-阻尼(ISD)懸架。

q為負重輪處路面不平度輸入；zt為負重輪的垂向位移；zs為懸掛質量與懸架連接處的垂向位移；m為懸掛質量；m1為非懸掛質量；c為懸架等效阻尼系數；k為懸架等效剛度系數；k1為負重輪的等效剛度圖4 ISD懸架模型Fig.4 Interter-spring-damper suspension model

在此基礎上，根據圖5所示的履帶機器人三維模型，建立圖6所示的采用ISD懸架的履帶機器人的1/2移動平臺8自由度振動模型。假設履帶機器人車體為剛體，當其在水平路面上勻速行駛時，僅考慮履帶機器人車體質心處垂向運動、俯仰運動，以及6個負重輪的垂向運動。

圖5 履帶機器人示意圖Fig.5 Tracked robot schematic

圖6 采用ISD懸架的履帶機器人簡化8自由度模型Fig.6 Simplified 8-DOF model of tracked robot with interter-spring-damper suspension

2.2 履帶機器人運動微分方程

在建立履帶機器人的運動微分方程前，為了后續建立方程的方便，首先介紹各參數含義，如表2所示。

表2 履帶機器人運動微分方程中各參數物理意義Table 2 Physical meaning of each parameter in the differential equation of the tracked robot

當俯仰角θ較小時，可近似取sinθ=θ，所以6個負重輪處的簧載質量與懸架連接處位移存在如式(10)的關系，即

(10)

隔離系統的各個組成部分，根據拉格朗日原理，建立各部分的動力學微分方程。

履帶機器人質心處垂向運動微分方程為

(11)

移動平臺質心處俯仰運動微分方程為

(12)

承重輪1處垂向運動微分方程為

k1(zs1-zt1)+k(q1-zt1)

(13)

承重輪2處垂向運動微分方程為

k2(zs2-zt2)+k(q2-zt2)

(14)

承重輪3處垂向運動微分方程為

k3(zs3-zt3)+k(q3-zt3)

(15)

承重輪4處垂向運動微分方程為

k4(zs4-zt4)+k(q4-zt4)

(16)

承重輪5處垂向運動微分方程為

k5(zs5-zt5)+k(q5-zt5)

(17)

承重輪6處垂向運動微分方程為

k6(zs6-zt6)+k(q6-zt6)

(18)

將式(10)代入履帶機器人8自由度運動微分方程[式(11)～式(18)]，整理為矩陣方程形式，如式(19)所示。

(19)

式(19)中：M為質量矩陣；B為慣容矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Z為位移列矩陣;V為輸入矩陣;Q為路面輸入列矩陣。其各自具體表達式為

Z=[zcθzt1zt2zt3zt4zt5zt6]T

(20)

Q=[0 0q1q2q3q4q5q6]T

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

3 利用MATLAB/Simulink進行仿真分析

根據得到的履帶機器人的運動微分方程，在MATLAB/Simulation中建立圖7所示的采用傳統懸架和圖8所示采用ISD懸架的履帶機器人仿真模型，模擬履帶機器人行駛速度10 m/s，行駛在C級隨機路面上的情況。其中參數三角形中的k為路面不平度參數，受路面等級影響，Kt*uvec表示與地面輸入接觸的等效剛度系數矩陣，C*uvec表示懸架阻尼系數矩陣，K*uvec表示懸架剛度系數矩陣，B*uvec表示慣容系數矩陣。在仿真模型中輸入表3所示的履帶機器人參數，運行仿真模型得到履帶機器人振動特性的時域結果，如圖9、圖10所示。

表3 履帶機器人參數Table 3 Tracked robot parameters

圖7 采用傳統懸架的履帶機器人仿真模型Fig.7 Tracked robot simulation model using traditional suspension

圖8 采用ISD懸架的履帶機器人仿真模型Fig.8 Tracked robot simulation model using interter-spring-damper suspension

由圖9(a)、圖9(b)可知，采用傳統懸架的履帶機器人質心處垂向速度最大值為0.34、-0.3 m/s，垂向速度主要集中在-0.16～0.16 m/s。垂向加速度的最大值為3.1、-3.1 m/s2，垂向加速度主要集中在-0.6～0.6 m/s2。

由圖9(c)、圖9(d)可知，采用傳統懸架的履帶機器人質心處俯仰角速度最大值為0.34、-0.4 rad/s，俯仰角速度主要集中在-0.3～0.2 rad/s。俯仰角加速度的最大值為2.5、-2.5 rad/s2，俯仰角加速度主要集中在-0.5～0.5 rad/s2。

圖9 采用傳統懸架的履帶機器人仿真結果Fig.9 Pitch angular acceleration at the center of mass of the tracked robot using traditional suspension

圖10 采用ISD懸架的履帶機器人仿真結果Fig.10 Pitch angular acceleration at the center of mass of the tracked robot using interter-spring-damper suspension

由圖10(a)、圖10(b)可知，采用ISD懸架的履帶機器人質心處垂向速度最大值為0.3、-0.28 m/s，垂向速度主要集中在-0.12～0.12 m/s。垂向加速度的最大值為1、-0.9 m/s2，垂向加速度主要集中在-0.4～0.3 m/s2。

由圖10(c)、圖10(d)可知，采用ISD懸架的履帶機器人質心處俯仰角速度最大值為0.12、-0.12 rad/s，俯仰角速度主要集中在-0.07～0.07 rad/s。俯仰角加速度的最大值為0.4、-0.28 rad/s2，俯仰角加速度主要集中在-0.16～0.16 rad/s2。

綜合以上仿真結果可知，采用傳統懸架時，履帶機器人質心垂向加速度的最大值為3.1、-3.1 m/s2，俯仰角加速度的最大值為2.5、-2.5 rad/s2；采用ISD懸架時，履帶機器人質心垂向加速度的最大值為1、-0.9 m/s2，俯仰角加速度的最大值為0.4、-0.28 rad/s2。采用ISD懸架的履帶機器人方案相對于傳統懸架，質心垂向加速度和俯仰角加速度均明顯減小。為進一步反映ISD懸架對履帶機器人帶來的行駛平順性的改進，在50 s的仿真時間內采樣1001點以計算質心垂向加速度和俯仰角加速度的均方根值(RMS)。結果表明，采用傳統懸架時，履帶機器人質心垂向加速度和俯仰角加速度的RMS分別為0.34、0.26 rad/s2; 采用ISD懸架時，履帶機器人質心垂向加速度和俯仰角加速度的RMS分別為0.18 m/s2、0.067 rad/s2。采用ISD懸架的履帶機器人方案相對于傳統懸架，質心垂向加速度的RMS減少了47%，俯仰角加速度的RMS減少了74%，因此行駛平順性得到了提高。

4 樣機試驗驗證

為了驗證ISD懸架在履帶機器人方案中的應用效果，搭建了試驗樣機，如圖11所示，分別對改裝前后的履帶機器人方案進行試驗驗證。

圖11 履帶機器人試驗樣機Fig.11 Test prototype of tracked robot

4.1 試驗方案

試驗選擇一條與C級隨機路面相接近的路面進行。由于場地條件等因素的限制，試驗樣機以10 m/s的速度直線行駛10 s。用于控制履帶行走機構運動的控制器為基于STM32F427IIH6主控芯片的開發板，如圖12所示，其包含陀螺儀模塊，可返回垂向加速度和俯仰角加速度信息。參考試驗樣機三維模型，將控制器安裝在樣機理論質心附近，通過串口采集樣機質心附近的垂向加速度和俯仰角速度數據，并加以分析。

圖12 試驗樣機控制器Fig.12 Test prototype controller

4.2 試驗結果

將采集得到的試驗數據進行處理，得到樣機采用傳統被動懸架系統和改裝為ISD懸架系統的質心處垂向加速度對比，如圖13(a)所示，以及俯仰角加速度對比，如圖13(b)所示。

圖13 樣機試驗結果Fig.13 Prototype test results

可以看出，改裝為ISD懸架之后的試驗樣機相較于改裝前，垂向加速度和俯仰角速度的幅值均有減小。采用傳統懸架時，試驗樣機的質心垂向加速度和俯仰角加速度的RMS分別為1.01 m/s2、0.65 rad/s2; 改裝為ISD懸架后，試驗樣機的質心垂向加速度和俯仰角加速度的RMS分別為0.89 m/s2、0.25 rad/s2。試驗結果與仿真結果略有出入，原因可能是試驗的路面并不是標準的C級路面，而且試驗樣機相較于履帶機器人虛擬樣機方案，載荷的分布和懸架剛度布局均有出入，但就試驗結果而言，改裝為ISD懸架后的試驗樣機相對于改裝前，質心垂向加速度的RMS減少了13%，俯仰角加速度的RMS減少了62%，試驗樣機的行駛平順性得到了提高，仿真結果的可靠性得到了驗證。

5 結論

通過對基于ISD懸架的履帶機器人的平順性進行計算和分析，得出以下結論。

(1)針對基于ISD懸架的履帶機器人，建立了包括6組承重輪垂向位移、機器人質心垂向位移、機器人俯仰運動在內的1/2移動平臺8自由度動力學模型。

(2)利用濾波白噪聲法構建了基于ISD懸架的履帶機器人仿真運行的C級隨機路面，獲得了10 m/s行駛速度下的C級隨機路面時域信號。

(3)基于MATLAB/Simulink平臺搭建了基于ISD懸架的履帶機器人的動力學仿真模型。仿真結果表明，同一履帶機器人方案采用ISD懸架相對采用傳統被動懸架，機器人質心垂向加速度和俯仰角加速度的幅值和RMS均得到了一定程度的降低，行駛平順性得到了提高。同時進行樣機試驗驗證了仿真分析結果的可靠性，為履帶機器人的行駛平順性研究提供了一定的參考。