覆冰導線馳振時其極限環幅值反饋控制

閔光云， 劉小會1,*， 孫測世， 蔡萌琦

(1.重慶交通大學土木工程學院， 重慶 400074； 2.重慶交通大學省部共建山區橋梁及隧道工程國家重點實驗室， 重慶 400074；3.成都大學建筑與土木工程學院， 成都 610106)

覆冰導線的馳振是一種典型的自激振動，由于其馳振形狀類似于龍舞，因此又稱舞動，其主要特點表現為小變形、大位移[1-3]。在雨凇、霜淞等惡劣環境下馳振的持續時間可長達數十日，導線馳振會產生交變張力，大幅變化的交變張力易使得導線疲勞、金具磨損，嚴重時可導致結構功能失效。針對馳振所產生的交變張力問題，王少華等[4]采用仿真與理論結合的方法研究了覆冰導線的舞動特性并討論了物理參數對動態張力的影響。黃欲成等[5]采用能量平衡法分析了導線Bate阻尼線體系的微風振動特性，其研究成果表明交變張力可改變輸電導線的防振特性。針對導線的馳振機理問題，不同的學者建立了不同的模型，提出了不同的馳振機理，但目前學術界普遍接受的還是Hartog[6]提出的豎向失穩機理，以及Nigol等[7]為代表的學者提出的豎向-扭轉二自由度耦合的舞動機理。基于提出的馳振機理，再根據試驗或者仿真得到導線的三分力氣動參數，接著就能研究導線的舞動特性。蔡萌琦等[8]首先進行了覆冰八分裂導線的風洞試驗，接著通過ABAQUS用戶子單元施加氣動荷載，研究了覆冰八分裂導線的舞動特性。向玲等[9]采用流體計算軟件模擬了覆冰四分裂導線各子導線的氣動參數，接著將四分裂導線等效為繞中心軸的一根導線，基于馳振控制方程分析了四分裂導線的舞動特性。

在以上學者們的研究基礎上[1-14]，推導單擋導線馳振控制方程，通過風洞試驗得到覆冰導線的三分力氣動參數，基于多尺度法求解覆冰導線發生馳振時產生的極限環的表達式，最后通過引入線性、平方非線性、三次非線性反饋控制器實現對極限環幅值的控制。

1 單擋導線馳振方程

為推導單擋導線的馳振控制方程，首先建立單擋導線力學模型，如圖1所示。圖1中，青色曲線表示導線的靜態平衡構型，其上的微元用ds表示；藍色曲線表示導線在外部荷載作用下的動態構型，其上的微元用ds′表示。y表示導線豎向的靜態位移，w表示導線豎向的動態位移，x表示導線橫向的靜態位移，u表示導線橫向的動態位移。

圖1 單擋導線力學模型Fig.1 Mathematical model of single conductor

假設導線為連續體，分別在導線靜態平衡構型與動態平衡構型上取出一微元段，如圖2所示。

圖2中，T表示導線靜態張力；Q、Q′分別表示導線靜態構型、動態構型上微元段所受剪力；M、M′分別為導線靜態構型、動態構型上微元段所受彎矩；τ為動張力。

圖2 導線微元圖Fig.2 Micro element diagram of conductor

列出導線y軸方向靜力平衡方程，即

(1)

式(1)中：m表示導線單位質量；g表示重力加速度。

列出擾動狀態下導線的動態平衡方程，即

(2)

由材料力學可知：

(3)

式(3)中：EI表示彎曲剛度;w″表示對位移x求二階導數。

假設導線垂度很小，且u沿x軸方向變化不大，即

(4)

聯立式(1)～式(4)可得：

(5)

式(5)即考慮抗彎剛度的動力學方程。

動張力的表達式為

(6)

忽略導線軸向的慣性力，可將動張力表示為

(7)

將式(7)代入式(5)可得：

(8)

式(8)中：fc表示阻尼系數;Fair表示空氣荷載,其表達式為

(9)

式(9)中：ρ為空氣動力系數；D為導線迎風直徑；U為當地平均風速；Cy(α)為氣動參數，其表達式為

Cy(α)=α1α+α2α2+α3α3

(10)

式(10)中：α1、α2、α3需通過風洞試驗獲得；α為瞬時攻角，其表達式為

(11)

式(1)中：α0為初始攻角；θ為扭轉角。

導線的馳振特征主要由基本模態決定，因此可將導線的動態位移寫為

w=φ(x)q(t)

(12)

式(12)中：φ(x)表示模態函數；q(t)為時間函數。

將式(9)～式(12)代入式(8)并結合Galerkin離散法可得：

(13)

式(13)中：

為方便使用多尺度法分析，現轉化式(13)的表達式為

(14)

2 風洞試驗

為確定導線的覆冰類型以及與風洞試驗相關的各項參數，于2008年到四川省西昌市對覆冰導線進行觀測調研。圖3所示為導線的覆冰類型，主要表現為新月形冰型。

圖3 現場調研所得導線覆冰冰型Fig.3 Iced type of conductor obtained from investigation

覆冰模型的材料采用木頭，按實際形狀進行加工，然后粘貼在導線模型表面，如圖4所示。

圖4 覆冰冰型模型Fig.4 Ice covered model

采用擬靜態方法，選取一段導線模型，進行氣動參數測試，測試模型如圖5所示。

圖5 覆冰單導線舞動模擬試驗模型Fig.5 Galloping simulation model of iced single conductor

通過風洞試驗測得12 mm冰厚的新月形覆冰單導線在10 m/s風速作用下三分力系數隨瞬時攻角的變化曲線，如圖6所示。

圖6 覆冰單導線空氣動力系數Fig.6 Aerodynamic coefficients of iced single conductor

3 多尺度法求極限環

針對非線性振動系統的研究方法有多種，但多尺度法是比較傳統的方法，且覆冰導線的馳振屬于弱非線性振動，因此選取多尺度法。為方便覆冰導線馳振方程的處理，引入式(15)：

(15)

覆冰導線的馳振屬于弱非線性振動系統，因此式(14)可改寫為

(16)

根據多尺度法可將式(16)的解設為

x=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)+…

(17)

式(17)中：T0、T1表示兩個時間尺度，(T0=t,T1=εt)且滿足：

(18)

將式(17)代入式(18)可得：

(19)

將式(19)代入式(15)，并將涉及ε0項的系數、ε1項的系數分別整理在一起，即

ε0階：

(20)

ε1階：

κ4(D0x0)2+κ5(D0x0)3

(21)

令：

x0=A(T1)exp(iω0T0)+cc

(22)

式(2)中：cc表示式(22)共軛項。

將式(22)代入式(21)可得：

(23)

根據微分方程的可解條件，求解式(23)首先需消除其永年項，即

(24)

為方便計算，先引入極坐標函數：

A(T1)=0.5aexp(iφ)

(25)

式(25)中：a表示幅值；φ表示相位；i為虛數單位。

將式(25)代入式(23)并且分離虛部可得到平均方程為

(26)

針對求解系統穩態解的問題，令式(26)左端為0，即可得到：

(27)

4 反饋控制器

4.1 線性反饋控制器

(28)

同樣運用多尺度法可得式(28)的穩態解為

(29)

觀察式(29)可得知:當κ=0時，式(29)即等價式(27),即未受控的下覆冰導線馳振的極限環表達式;當κ=-κ3時，可將幅值控制到0。

4.2 二次非線性反饋控制器

(30)

同理，運用多尺度法可得式(30)的穩態解為

(31)

觀察式(31)可知其與式(27)完全一樣，即二次非線性反饋控制系統對覆冰導線馳振下的幅值不起控制作用。

4.3 三次非線性反饋控制器

(32)

同理，運用多尺度法可得式(32)的穩態解為

(33)

觀察式(33)可得知:當κ=0時，式(33)即等價式(27);當κ=-κ5時，可將幅值控制到0。

5 算例分析

根據以上分析可知，線性反饋控制器、三次非線性控制器皆能控制覆冰導線馳振時所產生的幅值。為了驗證理論結果的正確性，下面將通過具體的數值算例給出解釋。導線的物理參數如表1[14]所示，模態函數選取φ(x)=sin(πx/l)，導線長度l為300 m。

表1 導線的物理參數Table 1 Physical parameters

根據以上導線的物理參數以及風洞試驗所得的三分力氣動系數并基于MATLAB可得覆冰導線馳振下受控與不受控的極限環，如圖7所示。

觀察圖7可知，不論是線性反饋控制器還是三次非線性反饋控制器皆能控制覆冰導線馳振下所產生的極限環的大小，針對具體的覆冰導線選取合適的反饋控制函數完全能使得導線的幅值為0。

為了更加清晰地分析反饋控制器對幅值的控制效果，下面給出了導線處于穩定狀態下任意10 s的位移時程曲線，如圖8所示。

圖8 舞動時程曲線Fig.8 Time history curve of galloping

觀察圖8可以發現，反饋控制器在不改變系統的周期的前提下能對導線的幅值起到明顯的抑制作用。由于導線的幅值隨著κ的變化而變化，因此針對具體的覆冰導線選取合適的κ能將其馳振所產生的幅值降為最小，從而保證工程的安全。

6 結論

根據研究，所得結論如下。

(1)將導線假設為連續體，推導了導線馳振方程，進行了風洞試驗，所得的三分力氣動參數能給以實際工程一定的參考價值。

(2)通過多尺度法求得了導線馳振下所產生的極限環的表達式，通過引入線性反饋控制函數與三次非線性反饋控制函數降低了極限環的幅值，進而能保證工程結構的安全運行。