針對(duì)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)改革研究

常相茂

（南京航空航天大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，南京 211106）

0 引言

信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展正在深刻影響著人類社會(huì)歷史的發(fā)展進(jìn)程，與此同時(shí)，信息網(wǎng)絡(luò)技術(shù)也給國(guó)家政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)以及國(guó)防帶來了嚴(yán)峻的安全風(fēng)險(xiǎn)和挑戰(zhàn)。在此新形勢(shì)下，國(guó)家對(duì)信息安全人才的需求越來越迫切，對(duì)信息安全人才的培養(yǎng)變得越來越重要。

信息安全是計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)、信息科學(xué)等多學(xué)科交叉的科學(xué)，數(shù)學(xué)在信息安全中有著重要的地位和作用。雖然所有與信息安全相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)專業(yè)都有專門的數(shù)學(xué)課程，但信息安全專業(yè)與數(shù)學(xué)專業(yè)在對(duì)這些知識(shí)學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)上有著較大的差異，信息安全專業(yè)更注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)在信息安全方面的應(yīng)用和實(shí)踐，而數(shù)學(xué)專業(yè)更注重?cái)?shù)學(xué)理論的完備性和嚴(yán)謹(jǐn)性。現(xiàn)有信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教學(xué)大都采用數(shù)學(xué)專業(yè)使用的教材和教學(xué)方法，在教學(xué)中很容易走入枯燥理論學(xué)習(xí)的誤區(qū)，同時(shí)又起不到輔助信息安全專業(yè)知識(shí)的作用，教學(xué)效果普遍不好。本文擬通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容、編程實(shí)驗(yàn)、課堂教學(xué)方式和考核方式四個(gè)方面的教學(xué)改革，提高現(xiàn)有信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)效果。

1 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)現(xiàn)狀

信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程是信息安全專業(yè)的基礎(chǔ)課。通過該課程的教學(xué)，學(xué)生能夠比較系統(tǒng)地掌握信息安全領(lǐng)域應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并繼續(xù)學(xué)習(xí)密碼學(xué)等專業(yè)課程。國(guó)內(nèi)有信息安全專業(yè)的高校大都開設(shè)了信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，課程主要強(qiáng)調(diào)信息安全的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)理論，基本都是從數(shù)學(xué)角度來傳授的。該課程教學(xué)內(nèi)容大體可分為初等數(shù)論與抽象代數(shù)兩部分。有的課程在設(shè)置中將初等數(shù)論納入抽象代數(shù)體系，直接從群論開始講起，這樣講解雖然體系明確、系統(tǒng)性強(qiáng)，但對(duì)本科生來說入門難度大。大多數(shù)高校的授課計(jì)劃是從數(shù)論的整除理論出發(fā)，引入同余、原根、素性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn)，再進(jìn)入抽象代數(shù)的群環(huán)域領(lǐng)域，兩部分各成體系。

我校自2013年開始開設(shè)《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程，一直沿用同類高校使用的教材和教學(xué)方法，然而在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果并不好。在內(nèi)容設(shè)置、教學(xué)手段及方法、考核等方面存在的一些問題總結(jié)如下：

（1）教學(xué)內(nèi)容不能適應(yīng)信息安全專業(yè)的特點(diǎn)。現(xiàn)有教材大多沿用數(shù)學(xué)專業(yè)的教材模式，為了保持?jǐn)?shù)學(xué)理論的完備性和嚴(yán)謹(jǐn)性，教材中往往包含了大量繁瑣的證明，有的教材甚至沒有任何例題，在教學(xué)中很容易走入枯燥理論教學(xué)的誤區(qū)，學(xué)生普遍反映課程理論內(nèi)容多、知識(shí)枯燥、學(xué)習(xí)難度大等。

（2）教學(xué)環(huán)節(jié)重理論，輕實(shí)踐。由于大部分學(xué)校沿用數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)方法，因此對(duì)該課主要還是以理論講解為主，實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)比較薄弱。在教學(xué)設(shè)計(jì)上缺乏與信息安全課程的結(jié)合，不太注重實(shí)踐能力的培養(yǎng)，以致學(xué)生不知道所學(xué)數(shù)學(xué)理論怎么用。社會(huì)也普遍抱怨當(dāng)前信息安全人才太偏重理論，實(shí)踐應(yīng)用能力不強(qiáng)。

（3）教學(xué)模式比較單一，缺乏多樣性。在課堂教學(xué)模式方面，目前所采用的教學(xué)模式相對(duì)單一，往往以教師的課堂理論講授為主，授課手段多數(shù)以黑板或PPT顯示為主，無法充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

（4）考核方式比較單一。目前多數(shù)學(xué)校還是采用傳統(tǒng)的考核方式，以平時(shí)作業(yè)、期末閉卷考試為主，不太注重學(xué)生的動(dòng)手能力和對(duì)知識(shí)的綜合利用能力。傳統(tǒng)的考核方式只能引導(dǎo)學(xué)生采用被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式去應(yīng)付，無法提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

通過上述對(duì)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的現(xiàn)狀和存在問題的分析結(jié)果，可以看到目前的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式都偏重理論教學(xué)，學(xué)習(xí)內(nèi)容枯燥，缺少對(duì)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力和自主創(chuàng)新活動(dòng)的訓(xùn)練和引導(dǎo)，不適應(yīng)新形勢(shì)下信息安全專業(yè)人才的培養(yǎng)要求。因此，非常有必要對(duì)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教學(xué)進(jìn)行改革。

2 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的改革方案

（1）教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)

選取與信息安全相關(guān)的初等數(shù)論、抽象代數(shù)和橢圓曲線的部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)作為主要內(nèi)容，在講解每章內(nèi)容之前，列出幾個(gè)與本章內(nèi)容相關(guān)的趣味問題讓學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本章即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性；對(duì)課程中涉及的概念、性質(zhì)和方法，設(shè)計(jì)大量相關(guān)的例題，降低學(xué)習(xí)理解的難度，提高對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力；在學(xué)習(xí)完每章的數(shù)學(xué)內(nèi)容之后，介紹與信息安全直接相關(guān)的部分內(nèi)容，用于建立數(shù)學(xué)知識(shí)和信息安全知識(shí)之間的對(duì)應(yīng)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的用武之地；在每章知識(shí)后面安排與本章知識(shí)相關(guān)的算法和實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，用于提高學(xué)生的動(dòng)手能力和知識(shí)的應(yīng)用能力；在每章的最后給學(xué)生提供一些趣味閱讀環(huán)節(jié)，用一些與每章內(nèi)容相關(guān)的趣味數(shù)學(xué)知識(shí)或者數(shù)學(xué)家的趣味故事進(jìn)一步提高讀者的學(xué)習(xí)興趣；有選擇地略去部分定理較為繁瑣的證明過程，突出重點(diǎn)，降低學(xué)習(xí)難度。

下面用“同余和同余式”的課程內(nèi)容進(jìn)行舉例說明。

設(shè)置趣味問題：①如果今天是星期五，100天后是星期幾？2100天后呢？②有一隊(duì)兵，站成5行縱隊(duì)時(shí)多出1人，站成6行縱隊(duì)時(shí)多出5人，站成7行縱隊(duì)時(shí)多出4人，那么兵數(shù)可能是多少人？

簡(jiǎn)要介紹與信息安全直接相關(guān)的知識(shí)：在學(xué)習(xí)完歐拉定理和費(fèi)馬小定理后，簡(jiǎn)要介紹RSA公鑰密碼體制。

算法和實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)：①給定a、m和n，設(shè)計(jì)算法計(jì)算am(mod n)；②設(shè)計(jì)算法求一次同余式ax≡b(mod m)的解；③給定任意正整數(shù)n，設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算歐拉公式φ(n)的程序。

趣味閱讀：提供關(guān)于中國(guó)剩余定理以及韓信點(diǎn)兵的趣味閱讀。

增加例題及省略部分定理的證明過程可視具體課程內(nèi)容以及學(xué)生理解能力而定。

（2）編程實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)該課程時(shí)一般都有一定的編程基礎(chǔ)，可以使用有關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和編程語言實(shí)現(xiàn)擴(kuò)展歐幾里得、模重復(fù)平方、原根等的具體計(jì)算，當(dāng)編寫出相應(yīng)的程序后，學(xué)生比較有成就感和獲得感，又鍛煉了學(xué)生編程能力，使學(xué)生體會(huì)到信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不僅可以從數(shù)學(xué)角度去理解和計(jì)算，也可以從計(jì)算機(jī)科學(xué)的計(jì)算角度去理解和計(jì)算。其次應(yīng)該設(shè)置信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程實(shí)踐課程，可以設(shè)置廣義歐幾里得算法、模重復(fù)平方算法、一次同余式求解算法、中國(guó)剩余定理算法、勒讓德符號(hào)計(jì)算算法、原根求解算法、Miller-Rabin算法和有限域構(gòu)造算法等，每個(gè)算法實(shí)踐大約4學(xué)時(shí)，涵蓋了信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主要概念、定理和結(jié)論等。若無法在信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課時(shí)內(nèi)安排實(shí)踐課程，也可以安排為實(shí)踐類課程作業(yè)。

（3）基于新的教學(xué)軟件的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

實(shí)踐證明，利用雨課堂、學(xué)習(xí)通等教學(xué)軟件可以有效提高學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的專注力。以雨課堂為例，可以實(shí)現(xiàn)課堂簽到、隨機(jī)點(diǎn)名、課堂練習(xí)題、彈幕、建立試題庫(kù)、插入慕課或網(wǎng)絡(luò)視頻等功能，將這些功能善加利用可以提高學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)效率。例如，可以時(shí)不時(shí)的利用隨機(jī)點(diǎn)名功能讓某位同學(xué)回答問題，這樣可以保持學(xué)生聽課的專注力；利用課堂練習(xí)題可以使學(xué)生隨時(shí)檢驗(yàn)自己是否已經(jīng)掌握所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)；每堂課結(jié)束后都會(huì)有課堂總結(jié)，學(xué)生可以看到自己在課堂所有練習(xí)中獲得的得分和排名，老師也可以了解學(xué)生對(duì)所講知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。

（4）考核機(jī)制設(shè)計(jì)

可以結(jié)合考試試卷、實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)和基于教學(xué)軟件的課堂表現(xiàn)對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合考評(píng)，可以進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。在試卷中，除了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的考察題目，還可以出幾道以信息安全為背景的題目，檢驗(yàn)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決信息安全問題的能力；在實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，可以以實(shí)驗(yàn)報(bào)告的形式考察學(xué)生對(duì)某個(gè)算法或者解法的原理的掌握程度；在課堂表現(xiàn)環(huán)節(jié)，教學(xué)軟件會(huì)以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)每節(jié)課程學(xué)生的表現(xiàn)情況，可以對(duì)每位學(xué)生利用加權(quán)平均的方法算出一個(gè)課堂表現(xiàn)的分?jǐn)?shù)。三個(gè)部分的考核可以設(shè)置一定的比例，得出一個(gè)最終的分?jǐn)?shù)作為每位學(xué)生的最終成績(jī)。

3 結(jié)語

本文分析了信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程在教學(xué)過程中遇到的一些問題，然后從教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、課堂教學(xué)設(shè)計(jì)和考核機(jī)制設(shè)計(jì)四個(gè)方面給出了一些改革的方法。這些方法正逐步在我們的教學(xué)中進(jìn)行實(shí)踐，學(xué)生對(duì)改革后的教學(xué)方法普遍給出了較好的評(píng)價(jià)。