深入探究一道數學建模題中隱藏的核心素養

廣東 雷雄軍

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱為“課程標準”)提出通過高中數學課程的學習，學習能夠發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六大數學核心素養.發展學生的數學核心素養不僅要以課本的新課為載體，也要以課后的習題作業為載體.這就要求數學教師不僅要精選題目，還要在題目的使用過程中能夠對題目進行靈活處理，激活題目，使得隱藏在題目背后的核心素養躍然紙上.本文筆者結合在一次精選試題時發現的一道難題(以下簡稱為“原題”)，在講解過程中通過靈活的教學處理對題目所滲透的核心素養進行了深入的挖掘.

一、原題呈現

如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結構圖，由正六棱錐O1-ABCDEF和O2-ABCDEF構成，兩個棱錐的側棱長均相等.且棱錐底面外接圓的直徑為1 600 mm，底面中心為O，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈現水平狀態，下頂點O2與天花板的距離為1 300 mm，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設金屬條的總長為y.

圖1

(1)設∠O1AO=θ(rad)，將y表示成θ的函數關系式，并寫出θ的范圍；

(2)請你設計θ，當角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最小.

此題對學生來說是一道難題，題目中蘊含了豐富的數學學科核心素養，但核心素養是蘊藏在題目里面的，需要我們通過恰當的教學設計去深入挖掘.在教學過程中，筆者對這道題的教學進行了靈活處理，通過靈活處理將隱藏的核心素養逐一挖掘出來.此道題的講解雖然花了整整一節課，但是學生的收獲也是滿滿的.

二、數學建模素養的滲透

課程標準給出數學建模是指對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.數學建模搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式.其過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、確定參數、建立模型、計算求解、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.在平常我們復習做題過程中，問題基本上都是現成的，不需要學生去發現和提出.因此在做題過程中很難培養學生發現和提出問題甚至選擇合適參數的能力.在上面的這個題目中，問題的背景是我們熟悉的現實情境——現實生活中魔豆吊燈.在這個熟悉的情境下，提出兩個問題：

問題一為數學問題：設∠O1AO=θ(rad)，將y表示成θ的函數關系式，并寫出θ的范圍；

問題二為現實問題：請你設計θ，當角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最小.

認真分析，這兩個問題的實質就是一個問題，即什么情況下，金屬條總長最小.第一問是為求解模型引入的參數相關問題.題目中問題如何提出的和參數如何確定的都已經直接呈現了，學生缺失了思考的過程.筆者在講解這個題目過程中進行了適當的處理，讓缺失的過程重新拾回.在給出題目后，沒有直接給出題目中的兩幅圖，只給出了左邊的實物圖.

接下來，筆者提出第一個開放性問題：結合圖象和題目中的條件，同學們可以提出什么問題？問題當然可以是數學問題，現實問題，也可以是科學問題.同桌之間互相討論一下.在這個過程中，學生結合已經掌握的知識技能及生活經驗，提出了一些問題.如金屬條的承重問題，燈的功率問題，燈如何放置會更加美觀，當然更多的是什么情況下金屬條才能最短問題.在這一過程中可以培養學生用數學的語言表達現實世界，提高學生提出問題和分析問題的能力.這個過程恰恰是數學建模中的第一個過程，也是題目中無法呈現的.在同學們討論結束后，筆者根據同學們提出的問題通過逐步分析確立要研究的數學問題：什么情況下，金屬條總長最小.在確定問題后，筆者引導學生思考，要研究一個事物的變化，我們必須要引入參數，通過參數的求解才能確定事物的變化.接著筆者提出第二個開放性問題，原題中應該引入哪個量作為參數才能解決我們提出的問題.在這個過程中，教師引導學生在實際生活情境中，運用數學思維進行分析，發現情境中的數學關系.提高了從數學角度發現和提出問題的能力，提升了學生的數學建模核心素養.

三、直觀想象素養的滲透

課程標準給出直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路，進行數學推理、構建抽象的結構基礎.主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

原題中直接呈現了實物圖的直觀圖形(圖2)，筆者認為這樣做不能很好地增強學生運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識.因此，筆者在講解過程中，在第一步結合實物圖(圖1)提出問題的基礎上，沒有直接給出原題中的幾何圖形(圖2).而是讓學生自己動手結合實物圖畫空間幾何圖形，并且把題目中的數量關系在幾何圖形中呈現出來，如下圖.

學生通過抽象實物的幾何直觀圖形，建立圖形與實物的聯系，體會圖形與圖形，圖形與數量的關系.抽象出幾何圖形后，利用幾何圖形構建提出問題的直觀模型，通過圖形建立形與數的聯系，進而理解問題的數學本質.金屬條總長即是幾何直觀圖中12O1A+6AB+O1P的值.結合幾何的直觀圖形，筆者提出了開放性問題：引入什么量作為參數，能夠構建原題的模型.學生比較多的是引入正六邊形的側棱長作為參數，設側棱長為x，金屬條總長

從而y=12O1A+6AB+O1P

由圖形可知O1P=1 300-1 600tanθ>0，

1)獨特的單線接口方式，DS18B20在與微處理器連接時僅需要一條口線即可實現微處理器與DS18B20的雙向通訊；

至此，我們就解決了問題一.這個過程，我們主要是引入參數建立模型.教師要著重突出通過幾何圖形直觀地描述和表達我們前面提出的問題，并且通過幾何圖形啟迪學生解決問題的思路，讓學生體會數形結合思想，提升學生直觀想象核心素養.

四、數學運算核心素養的滲透

課程標準中給出數學運算是指在明晰對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.數學運算是解決數學問題的基本手段，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果.

借助幾何圖形我們將現實問題建立成數學模型得出金屬條總長關于∠O1AO=θ(rad)的函數關系式：

這個就是原題的運算對象，接下來是探索運算思路.求解函數最值方法有很多，最常用的有單調性法、基本不等式法和導數法等.通過對函數式子結構特征分析，發現很難使用單調性和基本不等式.因此，選擇用導數性質解決.過程如下：

當θ∈(0,θ0)時，y′<0；當θ∈(θ0,φ)時，y′>0；

函數y=f(θ)的單調性與θ的關系列表如下：

θ(0,θ0)θ0(θ0,φ)f'(θ)-0+f(θ)↘極小值↗

在整個運算過程中，學生除了掌握導數運算知識以外，還形成了求解最值的通性通法，并且根據問題的特征形成合適的運算思路.通過最終問題的解決，進一步提高學生的數學運算能力，通過運算促進學生數學思維的發展，形成規范化思考問題的品質.