高三壓軸題講評(píng)，講好思維的“卡殼”處
——以2020屆成都三診理科數(shù)學(xué)第20題解法探究為例

四川 張 君

高三壓軸題講評(píng)，要順應(yīng)學(xué)生思維慣性，及時(shí)抓住學(xué)生思維“卡殼”處，和學(xué)生一起深度研究，找準(zhǔn)“卡殼”原因，突破“卡殼”思維，幫助學(xué)生走出困境，跳出題海，贏得勝利！

1.試題

已知函數(shù)f(x)=aex-m，其中a,m∈R.

(1)當(dāng)a=m=1時(shí)，設(shè)g(x)=f(x)-lnx，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=4，m=2時(shí)，證明：f(x)>x(1+lnx).

試題為成都市2020屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)理科第20題，題干設(shè)置有兩問(wèn)，有難度梯度，背景常規(guī)，但內(nèi)涵豐富、切入點(diǎn)多、解法靈活、區(qū)分度高,常規(guī)中見(jiàn)新奇，是一道非常具有講評(píng)和研究?jī)r(jià)值的函數(shù)壓軸題.

2.分析“卡殼”原因，講好思維“卡殼”處

考后筆者分析學(xué)生答卷，第(1)問(wèn)答得非常好，第(2)問(wèn)成了本次考試的“重災(zāi)區(qū)”！與部分學(xué)生交流得知，第(2)問(wèn)是一道函數(shù)不等式的證明題，問(wèn)法常規(guī)，容易尋找解題思路，但出現(xiàn)了思維“卡殼”，深入下去較難，加上考試時(shí)間有限，沒(méi)有寫出完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}過(guò)程.經(jīng)過(guò)具體分析，第(2)問(wèn)出現(xiàn)思維“卡殼”的思路主要有兩種：

2.1“卡殼”思路一：變形作差，構(gòu)造新函數(shù)，用隱零點(diǎn)研究

當(dāng)a=4，m=2時(shí)，f(x)=4ex-2，

要證f(x)>x(1+lnx)，

即證4ex-2>x(1+lnx).

令g(x)=4ex-2(x-1)-x(x>0)，

則g′(x)=4xex-2-1，

因?yàn)間″(x)=4ex-2(x+1)>0，所以g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.

而g(1)=-1<0，g(2)=2>0，

思路一“卡殼”原因：放大了隱零點(diǎn)x1的范圍，怎樣恰當(dāng)?shù)乜s小x1的范圍是此種思路突破的難點(diǎn).因?yàn)閜(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，所以我們只需要考慮區(qū)間右側(cè)，尋找一個(gè)比2小且比x1大的數(shù)n，使得p(n)>0.我們可以通過(guò)二分法，嘗試尋找逼近x1的n，解法探究如下：

2.2“卡殼”思路二：移項(xiàng)作差，直接構(gòu)造函數(shù)，用隱零點(diǎn)研究

要證f(x)>x(1+lnx)，只需證4ex-2>x(1+lnx).

所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，h″(x)<0，所以h′(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，h″(x)>0，所以h′(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x∈(0,x1)和x∈(x2,+∞)時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，h′(x)<0，所以h(x)單調(diào)遞減.

由h′(x2)=0，即4ex2-2=lnx2+2，得h(x)的極小值h(x2)=4ex2-2-x2(1+lnx2)=lnx2+2-x2(1+lnx2)，

即證得f(x)>x(1+lnx).

評(píng)注：移項(xiàng)作差直接構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，三次用到隱零點(diǎn)，還要構(gòu)造不等式放縮，對(duì)學(xué)生能力要求高，難度非常大，深入做下去的學(xué)生很少.通過(guò)與思路一比較，讓學(xué)生體會(huì)到變形構(gòu)造比直接構(gòu)造更簡(jiǎn)潔，要學(xué)會(huì)恰當(dāng)合理的構(gòu)造函數(shù).

3.進(jìn)一步解法探究

思路一、二是證明不等式常見(jiàn)的構(gòu)造方法，思路簡(jiǎn)單，但所構(gòu)造的函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，計(jì)算量大，耗時(shí)過(guò)多，同時(shí)要構(gòu)造不等式進(jìn)行放縮，技巧性強(qiáng)，不易想到.在了解學(xué)生思維“卡殼”處的基礎(chǔ)上，和學(xué)生一起再次探究，分析錯(cuò)因，尋找突破,走出困境，讓學(xué)生明白不同的思路選擇，其解答過(guò)程的復(fù)雜程度不一樣，要學(xué)會(huì)選擇.有沒(méi)有更好的解題思路，正是這道題研究的價(jià)值所在.

3.1思路三：一分為二，凹凸性的反轉(zhuǎn)

要證f(x)>x(1+lnx)，

只需證4ex-2>x(1+lnx).

當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，h′(x)<0，所以h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)單調(diào)遞增.

所以h(x)min=h(2)=1.

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，φ′(x)>0，所以φ(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，φ′(x)<0，所以φ(x)單調(diào)遞減.

所以f(x)>x(1+lnx).

評(píng)注：通過(guò)在所證不等式兩邊同時(shí)除以x2，構(gòu)造兩個(gè)凹凸性相反的函數(shù)，滿足h(x)min≥φ(x)max，且不在同一點(diǎn)處取等號(hào)，從而使問(wèn)題得到快速解決.此法簡(jiǎn)潔、新穎，讓學(xué)生感受到恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)的重要和美妙！

3.2思路四：函數(shù)隔離法

要證4ex-2>x(1+lnx)，

只需證4ex-2≥x2≥x(1+lnx)，

先證右邊：x2≥x(1+lnx)，即證x≥1+lnx，

再證左邊：4ex-2≥x2(x>0)，對(duì)此不等式，有如下構(gòu)造證明方法：

方法1：移項(xiàng)直接構(gòu)造差函數(shù)

令q(x)=4ex-2-x2(x>0)，

則q′(x)=4ex-2-2x，

令p(x)=q′(x)，則p′(x)=2(2ex-2-1)，

由p′(x)=0，得x=2-ln2，

所以當(dāng)x∈(0,2-ln2)時(shí)，p′(x)<0，q′(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2-ln2,+∞)時(shí)，p′(x)>0，q′(x)單調(diào)遞增.

又q′(2)=0，所以當(dāng)x∈(0,x0)和x∈(2,+∞)時(shí)，q′(x)>0，q(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x0,2)時(shí)，q′(x)<0，q(x)單調(diào)遞減.

所以4ex-2≥x2≥x(1+lnx)，因?yàn)椴坏仁阶笥覂蛇叢辉谕稽c(diǎn)取等，所以4ex-2>x(1+lnx).

方法2：取對(duì)數(shù)，化指數(shù)為對(duì)數(shù)

要證4ex-2≥x2(x>0)，只需證ln(4ex-2)≥lnx2，即證：ln4+x-2≥2lnx，

令t(x)=ln4+x-2-2lnx，

所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，t′(x)<0，t(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，t′(x)>0，t(x)單調(diào)遞增.

所以t(x)min=t(2)=ln4+2-2-2ln2=0，所以t(x)≥0，即4ex-2≥x2(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等).原式得證.

方法3：合理變形，構(gòu)造商函數(shù)

當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，h′(x)<0，所以h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)單調(diào)遞增.

所以h(x)min=h(2)=1，所以h(x)≥1，即4ex-2≥x2(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等).原式得證.

評(píng)注：在所證不等式中間插入一個(gè)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的隔離，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明兩個(gè)相對(duì)比較簡(jiǎn)單的不等式，化繁為簡(jiǎn)，跳出泥潭，使問(wèn)題得到順利解決.用三種不同方法對(duì)左邊不等式4ex-2≥x2進(jìn)行構(gòu)造證明，再次讓學(xué)生感受到構(gòu)造在函數(shù)不等式證明中的魅力！

3.3思路五：利用切線不等式放縮

令h(x)=ex-x-1，則h′(x)=ex-1，

所以h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以h(x)≥h(0)=0，即ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等).

用x-1替換x得ex-1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等)，

用lnx替換ex≥x+1中的x得x≥lnx+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等)，

因?yàn)閤>0，所以x2≥x(lnx+1)(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等)②，

由①②式得，4ex-2≥x2≥x(1+lnx)，由于兩式不在同一點(diǎn)處取等號(hào)，

所以4ex-2>x(1+lnx)，

所以f(x)>x(1+lnx).

評(píng)注：通過(guò)兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的切線不等式ex≥x+1和x≥lnx+1的替換、放縮，巧妙證明目標(biāo)不等式，此法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高，解法很有創(chuàng)新性，值得學(xué)習(xí)、思考.

4.教后反思

思路一、二通過(guò)移項(xiàng)作差、構(gòu)造和變形作差直接構(gòu)造新函數(shù)，是函數(shù)不等式證明的通性通法，學(xué)生入手容易深入難，這也正是高考?jí)狠S題的常見(jiàn)命題手法，對(duì)學(xué)生的能力和素養(yǎng)要求高、區(qū)分度強(qiáng).講評(píng)時(shí)順應(yīng)學(xué)生的思維慣性，通過(guò)通性通法的研究，深度剖析題目本質(zhì)，挖掘試題的思想和方法，找準(zhǔn)學(xué)生思維“卡殼”的原因，認(rèn)清命題陷阱，尋求思維突破.

思路三、四、五通過(guò)一題多解，深刻體會(huì)題目?jī)?nèi)涵及命題意圖，進(jìn)行思路引導(dǎo)，多視角分析，合理構(gòu)造、放縮，提出更加自然、簡(jiǎn)潔、美妙、創(chuàng)新的解法，從而突破“卡殼”思維，幫助學(xué)生走出困境、跳出題海.