解析幾何中參數范圍問題的求解策略

廣東 李文東

解析幾何中的參數范圍問題是高考的重要考查內容，這一類問題綜合性強、變量多、涉及知識面廣，解答這類問題往往需要運用函數與方程思想、數形結合思想等，將問題轉化為求函數的值域或最值等來解決，是高考中的難點問題.這類問題能充分考查邏輯推理、數學運算、直觀想象、數學抽象等核心素養，因而備受命題者的青睞.下面談談此類問題常見的求解策略.

策略一：構造目標參數的函數

把所討論的參數作為一個函數，選取一個適當的參數作為自變量來表示這個函數，通過討論函數的值域來求參數的變化范圍.此類問題細分如下.

類型1.題中已給參數范圍，只需將目標參數用已知參數表示出來

( )

解：∵點B和點A關于原點對稱，∴點B也在橢圓上，設左焦點為F′，

根據橢圓定義|AF|+|AF′|=2a，又|AF′|=|BF|，

∴|AF|+|BF|=2a，①

O是Rt△ABF的斜邊中點，∴|AB|=2c，

又|AF|=2csinα，② |BF|=2ccosα，③

將②③代入①得2csinα+2ccosα=2a，

點評：題中已給α及其范圍，只需將橢圓離心率e用α表示出來即可.

類型2.選取適當的參數，將目標參數用已知參數表示出來

(1)求橢圓C的方程；

設E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0)，

①當m=0時，k=0；

點評：通過設直線l的方程將參數k用m表示出來，然后利用基本不等式探求參數的取值范圍.

(1)求橢圓E的方程；

又判別式Δ=36k2t2-4(1+3k2)(3t2-12)>0，得12k2-t2+4>0，②

聯立①②有1

當點M在橢圓內，即-2

綜上可知，參數t的取值范圍為{t|-2

點評：類似于例3，只是這里還需要根據二次方程有解的條件，運用判別式先求出k的范圍，這類問題十分普遍，同時需要注意3k2=t-1中隱含了t>1的條件.

策略二：利用點或曲線的范圍

(1)求雙曲線的方程；

解：設橢圓上A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點關于直線l對稱，直線AB與l交于M(x0,y0)點.

∵A，B為橢圓上的兩點，∴M點在橢圓的內部，

策略三：運用幾何性質

解：由雙曲線的定義可知：|PF1|-|PF2|=2a，又∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|=4a,|PF2|=2a，∵三角形兩邊之和大于第三邊，∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即6a≥2c，得離心率e≤3，又e>1，∴雙曲線離心率的取值范圍為(1,3].

解：顯然x=0不滿足題設條件．可設l的方程為y=kx+2，設A(x1,y1)，B(x2,y2)．

又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4，

∴0

策略四：運用數形結合探求參數范圍

例9.直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A，B,求實數k的取值范圍.