判斷條件與結(jié)論關(guān)系的前提、方法和轉(zhuǎn)化

安徽 閆傳家 祝 峰

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》中，采用了“主線-主體-核心內(nèi)容”的結(jié)構(gòu)形式設(shè)計課程內(nèi)容.這種設(shè)計形式下，“常用邏輯用語”調(diào)整至初高中過渡內(nèi)容的“準備知識”中.通過本段的學習，能夠幫助學生學會利用常用邏輯用語梳理知識間的基本邏輯關(guān)系.特別是理解充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理、充要條件與定義的關(guān)系.下文通過實例，呈現(xiàn)解決條件與結(jié)論邏輯關(guān)系判斷問題的必要前提、具體方法和常見轉(zhuǎn)化技巧.

1.厘清“條件”和“結(jié)論”是前提

一般地，“若p則q”為真命題，指由p通過推理可以得到q.記作p?q，此時，稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.數(shù)學學習中，判定定理所闡述的是結(jié)論成立的依據(jù)，即判定定理給出了結(jié)論成立的充分條件；性質(zhì)定理則闡述了一個數(shù)學研究對象所具有的性質(zhì)，揭示這個研究對象的某個特征，給出的是結(jié)論成立的必要條件；充要條件的作用在于從不同角度刻畫同一事物，是對問題進行等價轉(zhuǎn)化的基本依據(jù).在判斷條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，若對問題理解不透徹，會出現(xiàn)條件、結(jié)論混淆的情況，一旦兩者顛倒，判斷就會出現(xiàn)錯誤.

例1.(2020·天津卷·2)設(shè)a∈R，則“a>1”是“a2>a”的

( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

例2.(2019·全國卷Ⅱ理·7)設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是

( )

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

例1中a∈R是大前提，“a>1”是條件，“a2>a”是結(jié)論,故選A.例2中α∥β是結(jié)論，四個選項為條件，需從四個選項中遴選出其充要條件，故選B.這種“倒過來說”的方式極易把條件和結(jié)論混淆，求解過程中需先分清楚“條件”和“結(jié)論”分別是什么，才能準確做出判斷.

2.選擇恰當?shù)姆椒ㄊ顷P(guān)鍵

分清條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上，條件關(guān)系的判斷有兩種具體方法.一是定義法，即利用充分條件、必要條件的定義判斷.如果“若條件則結(jié)論”為真命題，那么“條件”的充分性具備；如果“若結(jié)論則條件”為真命題，那么“條件”的必要性具備.定義法的關(guān)鍵是準確判斷兩個命題真假.二是集合法，在一些問題中，若條件與集合A關(guān)聯(lián)，結(jié)論與集合B關(guān)聯(lián)，如果A?B，那么條件具備充分性，如果B?A，那么條件具備必要性.

2.1定義法

例3.(2020·浙江卷·6)已知空間中不過同一點的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的

( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

【解析】大前提：空間中不過同一點的三條直線l，m，n；條件p：l，m，n共面；結(jié)論q：l，m，n兩兩相交.

如果三條直線l，m，n共面，則三條直線不一定兩兩相交，可以兩兩平行，或者其中兩條平行且均與第三條相交.所以命題“若p則q”為假命題，所以條件不具備充分性.

如果三條直線兩兩相交且不共點，則三條直線一定在同一平面內(nèi).即“若q則p”為真命題，必要性具備，所以p是q的必要不充分條件，故選B.

【評析】概念和原理是問題求解的基礎(chǔ)，解題中概念最有力量.厘清條件和結(jié)論后，結(jié)合相關(guān)知識，判斷兩命題的真假，即可依據(jù)定義獲得條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系.這種求解方法有時略顯冗雜，但這是概念和原理所反映的基本思想，是條件和結(jié)論關(guān)系判斷的通法.

2.2集合法

例4.(2020·北京卷·9)已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的

( )

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

【解析】大前提：α，β∈R；條件：存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ；結(jié)論：sinα=sinβ.條件對應集合A={(α,β)|α=kπ+(-1)kβ,k∈Z}，注意到當sinα=sinβ時有α=2kπ+β或α=(2k+1)π-β，k∈Z，即α=kπ+(-1)kβ，所以結(jié)論對應集合B=A，所以“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的充分必要條件，故選C.

例5.(2019·浙江卷·5)設(shè)a>0，b>0，則“a+b≤4”是“ab≤4”的

( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

【解析】大前提：a>0，b>0；條件p：a+b≤4；結(jié)論q：ab≤4.如圖所示，大前提下，條件所對應的平面區(qū)域均在結(jié)論對應平面區(qū)域的內(nèi)部，即條件對應點集是結(jié)論對應點集的真子集，所以a+b≤4是ab≤4的充分不必要條件，故選A.

【評析】集合法判斷首先要建立條件和結(jié)論的關(guān)聯(lián)集合.例4條件和結(jié)論分別對應兩點集，直接研究兩點集關(guān)系即可做出判斷.例5條件和結(jié)論也對應兩點集，結(jié)合線性規(guī)劃知識，給予兩點集幾何直觀圖形，通過圖形可判斷兩點集之間的關(guān)系，即可獲得條件、結(jié)論之間的邏輯關(guān)系.

集合法的關(guān)鍵步驟有二，一是依據(jù)問題情境，建立條件、結(jié)論的關(guān)聯(lián)集合；二是準確判斷兩集合之間的關(guān)系.必要時需借助分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法.

3.等價轉(zhuǎn)化合理等價轉(zhuǎn)化是方向

判斷條件和結(jié)論關(guān)系的過程中，等價轉(zhuǎn)化體現(xiàn)在三個方面.一是兩者關(guān)系不明顯時，可對條件和結(jié)論進行等價轉(zhuǎn)化，使關(guān)系明顯；二是轉(zhuǎn)化為“原命題”的“逆否命題”；三是轉(zhuǎn)化為“原命題”的“否定”.

3.1對“條件”或“結(jié)論”進行等價轉(zhuǎn)化

( )

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

【評析】條件和結(jié)論的關(guān)系不明顯時，即用定義法難以判斷命題真假、集合法也不奏效時，可利用研究對象的多元表征，把“條件”或“結(jié)論”轉(zhuǎn)化為另一種描述形式，使之顯性化，以達到判斷兩者之間邏輯關(guān)系的目的.

3.2轉(zhuǎn)化為逆否命題

【解法一】條件：p，結(jié)論：q.

當1-m=-2時，m=3，q對應集合為(-∞,-2)∪(4,+∞)不是(-∞,-2)∪(10,+∞)的真子集；

當1+m=10時，m=9，q對應集合(-∞,-8)∪(10,+∞)是(-∞,-2)∪(10,+∞)的真子集.

綜上，m≥9.

【評析】從正面解決求出p、q的關(guān)聯(lián)集合，由集合法獲得m的取值范圍.

【解法二】p是q的必要不充分條件，依據(jù)定義有：

【評析】利用原命題與其逆否命題的等價性，把p是q的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為p是q的充分不必要條件，用p，q關(guān)聯(lián)集合求解.

3.3轉(zhuǎn)化為原命題的否定

例8.如果x,y是實數(shù)，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的

( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

【解析】條件p:x≠y：結(jié)論q:cosx≠cosy.

命題“若p則q”，為“任意不相等的實數(shù)x，y，使cosx≠cosy”，其否定為“存在不相等的實數(shù)x0,y0，使cosx0=cosy0”，為真命題，所以命題“若p則q”為假命題，即條件不具備充分性；

命題“若q則p”，為“任意滿足cosx≠cosy的實數(shù)x,y，均有x≠y”，其否定為：“存在滿足cosx0≠cosy0的實數(shù)x0,y0，使x0=y0”，為假命題，所以命題“若q則p”為真命題，即條件具備必要性.

所以p是q的必要不充分條件，故選B.

【評析】定義法判斷條件和結(jié)論關(guān)系時，需判斷兩個命題真假.若命題從正面判斷真假有困難，可以考慮其反面，即判斷其“否定”的真假，利用命題與其否定真假性相反，獲得原命題的真假.

4.結(jié)語

理解條件和結(jié)論的關(guān)系是進行邏輯推理的基礎(chǔ)，對數(shù)學學習具有重要意義.理解過程中首先應明確條件和結(jié)論，在此基礎(chǔ)上依據(jù)問題的不同特征，在“定義法”和“集合法”中恰當?shù)剡x擇一種方式進行判斷.定義法即直接判斷兩個命題的真假，集合法則需先建立“條件”和“結(jié)論”的關(guān)聯(lián)集合，通過集合關(guān)系得到條件和結(jié)論的邏輯關(guān)系.