高考數(shù)學中函數(shù)型最值問題初探

山東 孫 浩

縱觀近幾年高考數(shù)學試題，最值問題已成為新課改形勢下高考數(shù)學中的必考點，考查形式靈活多樣，考查比重有增加趨勢.因此分析研究高考試題中的最值問題對高三復習備考意義非凡，那么高考中的最值問題都是如何呈現(xiàn)的呢？復習備考中應該如何應對呢？

從最值問題中變量個數(shù)來分析，可分為只含一個變量的“函數(shù)型”最值問題以及含多個變量的“均值型”和“曲線型”最值問題(此文不研究幾何中的最值問題),那么如何根據(jù)變量的個數(shù)選擇有效的解題策略呢？

由于篇幅所限，本文僅研究函數(shù)型最值問題，函數(shù)型最值問題顧名思義就是函數(shù)問題，即問題是以函數(shù)的形式予以呈現(xiàn)，請不要以為自變量就是x，它可能是一個整體，也可能是其他字母.下面筆者從函數(shù)的構成來具體分析函數(shù)型最值問題的解題策略.

1.函數(shù)單調性明確型

此類問題最大的特征是：所給函數(shù)的單調性是明確的.這類問題是由一個或幾個我們熟悉的具體函數(shù)構成的，函數(shù)本身的單調性是明確的，可以轉化為常見函數(shù)的單調性來求解最值問題.下面從形態(tài)結構來分析如何解決這類問題.

1.1一個或幾個熟知的函數(shù)的組合

高考常以分段函數(shù)和三角函數(shù)的形式予以考查，問題函數(shù)是由一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)等學生熟悉的具體函數(shù)中的一個或者兩個加減運算組成，其問題函數(shù)的單調性明確，學生可以直接根據(jù)基本函數(shù)的單調性判斷出所給函數(shù)的單調性，利用其單調性和所給區(qū)間求問題函數(shù)的最值.結構形態(tài)為：熟知函數(shù)+熟知函數(shù)——單調性相同.

①f(x)的最小正周期為2π；

其中所有正確結論的序號是

( )

A.① B.①③

C.②③ D.①②③

①若a=1，則f(x)的最小值為________；

②若f(x)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[-π，0]上的最小值.

1.2齊次分式型

由于在高考中基本不涉及,在這里就不舉例說明了.

1.3二次函數(shù)型

高考常在三角函數(shù)最值問題中考查此類型,經(jīng)過對函數(shù)式的化簡轉化，把一個量看成整體，形成一個二次形態(tài)結構式，因此可以利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值求法來解決這類問題.結構形態(tài)為：整體+二次.

解決此類問題要有整體意識,并且要注意新變量取值范圍的變化,然后利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值求法來解決問題.

2.組合函數(shù)型——函數(shù)單調性不清楚

組合型函數(shù)問題在高考數(shù)學試題中經(jīng)常會出現(xiàn),其基本特征是函數(shù)是由幾個函數(shù)組合而成,整個函數(shù)的單調性不得而知,無法利用具體函數(shù)的單調性來求解,這類函數(shù)只能借助導數(shù)來判斷其單調性再來求解.結構形態(tài)為:含有兩個或兩個以上函數(shù),無法轉化為單一函數(shù)，且看不出其單調性.

【例4】(1)(2018·全國卷Ⅰ理·16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是________.

(2)(2018·全國卷Ⅰ理·20節(jié)選)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

【例5】(2020·北京卷·19)已知函數(shù)f(x)=12-x2.

(Ⅰ)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程；

(Ⅱ)設曲線y=f(x)在點(t,f(t))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S(t)，求S(t)的最小值.

第(Ⅰ)問切線方程y=-2x+13.

【例6】(2020·天津卷·20)已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)為f(x)的導函數(shù).

(Ⅰ)當k=6時，

(ⅰ)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

第(Ⅰ)問(ⅰ)切線方程為y=9x-8.

通過以上分析可以看出,當遇到多個函數(shù)組合構成一個新函數(shù)時,必須用好導數(shù)這個強有力的工具,借助導數(shù)來研究組合函數(shù)的單調性,利用函數(shù)的最值一般在極值點或區(qū)間端點取得來求解相關問題.