高中數(shù)學(xué)建模試題的開(kāi)發(fā)與實(shí)踐

2020-11-21 01:50:08廣東

教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2020年6期

廣東朱歡

國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見(jiàn)中，明確要求要深化考試命題改革.優(yōu)化考試內(nèi)容，突出立德樹(shù)人導(dǎo)向，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.創(chuàng)新試題形式，加強(qiáng)情景設(shè)計(jì)，注重聯(lián)系社會(huì)生活實(shí)際，增加綜合性、開(kāi)放性、應(yīng)用性、探究性試題.在這樣一個(gè)背景下，高考試題也在逐漸變革，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)建模類(lèi)型的試題在高考中呈現(xiàn)出來(lái)，如下面這道例題：

一、題目呈現(xiàn)

(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·6)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)

( )

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

【題目分析】本題充分發(fā)揮學(xué)科特色，將“戰(zhàn)疫”入題，基于新冠肺炎疫情初始階段累計(jì)感染病例數(shù)的數(shù)學(xué)模型的研究成果，考查相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和從資料中提取信息的能力，根據(jù)提供的數(shù)學(xué)模型，可以進(jìn)行累計(jì)病例的增長(zhǎng)的時(shí)間估算，突出數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用.本題的難點(diǎn)在于如何理解“累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍”以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【方法歸納】對(duì)于直接給出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，一般，直接應(yīng)用題目所給的公式和要求進(jìn)行計(jì)算即可，一般計(jì)算過(guò)程中需要進(jìn)行指對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)值的估值計(jì)算，對(duì)計(jì)算能力要求較高.

( )

A.60 B.63

C.66 D.69

二、高中數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的開(kāi)發(fā)原則

數(shù)學(xué)建模是對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程.主要包括：在實(shí)際情景中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、建立模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題.

日常測(cè)試以及學(xué)考、高考中與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)考核相關(guān)的命題和日常建模活動(dòng)的區(qū)別主要考慮：(1)限時(shí)考試且為短時(shí)段考試；(2)閉卷考試，無(wú)法執(zhí)行開(kāi)放的、實(shí)地的調(diào)查；(3)高考不能使用計(jì)算器.

基于以上考慮，在考試中運(yùn)用“微建模”題目進(jìn)行建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)是最好的選擇.為了讓學(xué)生在短暫時(shí)間內(nèi)能夠處理和計(jì)算問(wèn)題，高中數(shù)學(xué)建模試題的開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)可以從以下方面去考慮：(1)以某種特定的模型來(lái)命題；(2)以某種建模方法考查為中心進(jìn)行命題；(3)命題考查的重點(diǎn)是模型的解釋與檢驗(yàn)環(huán)節(jié)；(4)命題側(cè)重點(diǎn)放在假設(shè)和建模環(huán)節(jié).

三、高中數(shù)學(xué)建模試題的開(kāi)發(fā)與實(shí)踐

(一)以某種特定的模型來(lái)命題

根據(jù)特定的函數(shù)模型來(lái)命制數(shù)學(xué)建模問(wèn)題是目前高考數(shù)學(xué)中比較常見(jiàn)的命題方式，高中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型有函數(shù)模型(如本文引例)、數(shù)列模型(如存款利息問(wèn)題)、三角函數(shù)模型、古典概率模型、幾何概率模型、回歸分析模型等等.一般可以根據(jù)模型的特點(diǎn)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，難度適中，比較適合出現(xiàn)在高考命題中.此類(lèi)模型一般直接應(yīng)用題目所給的公式和要求進(jìn)行計(jì)算即可，主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算(估算)能力，計(jì)算能力要求較高.

【例1】已知某抽氣機(jī)每次可抽出容器內(nèi)空氣的40%，要使容器內(nèi)的空氣少于原來(lái)的0.1%，則至少要抽氣的次數(shù)是( )(參考數(shù)據(jù)：lg6=0.778)

A.12 B.13

C.14 D.15

( )

A.5.64 B.105.64

C.ln5.64 D.lg5.64

(二)以某種建模方法考查為中心的命題

考慮到高中階段學(xué)生所能掌握的數(shù)學(xué)建模方法的限制，在命制此類(lèi)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)使用高中階段常見(jiàn)的數(shù)學(xué)建模方法，如：

1.化歸法：經(jīng)過(guò)合理假設(shè)后，與所學(xué)某類(lèi)模型匹配，可以利用現(xiàn)有模型解決問(wèn)題.中學(xué)階段接觸得較多的模型包括初等函數(shù)、分段函數(shù)、方程(組)、不等式(組)、基本的平面圖形(線段、三角形、四邊形、正多邊形、圓等)、基本的立體圖形(柱、錐、臺(tái)、球等)、古典概型等.

2.演繹法：由一般到特殊的推理方法.推論前提與結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的，是一種確實(shí)性推理.這種方法基于演繹分析，綜合運(yùn)用多種現(xiàn)有的模型解決問(wèn)題.

3.歸納法：歸納推理是一種由個(gè)別到一般的推理.歸納推理是從認(rèn)識(shí)研究個(gè)別事物到總結(jié)、概括一般性規(guī)律的推斷過(guò)程.

4.類(lèi)比法：由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式.

【設(shè)計(jì)意圖】本題以類(lèi)比法為建模方法，需要考生以給出的案例為基本模型，類(lèi)比構(gòu)建出新的模型“從n+k個(gè)球中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)”.

對(duì)上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得

【設(shè)計(jì)意圖】本題以演繹法為建模方法，以導(dǎo)數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，新定義了一個(gè)名詞“拐點(diǎn)”，并介紹了任何一個(gè)三次函數(shù)的拐點(diǎn)都是該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，在此情境下，構(gòu)建了一個(gè)函數(shù)中心對(duì)稱(chēng)模型，這里需要我們對(duì)中心對(duì)稱(chēng)模型有必要的知識(shí)儲(chǔ)備：如果一個(gè)函數(shù)f(x)有對(duì)稱(chēng)中心(a,b)，那么f(x)+f(2a-x)=2b.

(三)以模型的解釋與檢驗(yàn)環(huán)節(jié)來(lái)命題

檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的優(yōu)劣也是常見(jiàn)的命題點(diǎn)，如對(duì)于回歸模型的優(yōu)劣，可以用散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)、回歸指數(shù)、殘差分析等方式進(jìn)行檢驗(yàn)和解釋?zhuān)粚?duì)于決策模型，可以用數(shù)字特征(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差)、期望與方差、概率的大小等進(jìn)行檢驗(yàn)和解釋.對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，要熟悉常見(jiàn)的需要解釋的模型，并能夠建立模型進(jìn)行檢驗(yàn)或解釋.

(1)求兩份血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的概率；

(2)若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.方案一、二、三中哪個(gè)最“優(yōu)”？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【設(shè)計(jì)意圖】本題以新冠病毒的檢測(cè)為背景，通過(guò)抉擇三種不同方案的最優(yōu)性，構(gòu)建了利用數(shù)學(xué)期望作為決策解釋依據(jù)的數(shù)學(xué)模型.第(1)問(wèn)根據(jù)獨(dú)立事件和對(duì)立事件概率公式可計(jì)算求得結(jié)果；第(2)問(wèn)先確定方案二和方案三檢驗(yàn)次數(shù)所有可能的取值，并求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列，由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式計(jì)算得到期望，與方案一的期望進(jìn)行比較，得到最優(yōu)方案.

(2)方案一：逐個(gè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)次數(shù)為4.

設(shè)方案二的檢驗(yàn)次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為2,4,6，

則ξ的分布列如下：

方案三：四個(gè)樣本混在一起檢驗(yàn)，設(shè)方案三的檢驗(yàn)次數(shù)記為η，η的可能取值為1，5，

則η的分布列如下：

η15P64811781

比較可得E(η)

【例5】“生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是責(zé)任”.面對(duì)疫情，為切實(shí)做好防控，落實(shí)“停課不停學(xué)”，某校高三年級(jí)啟動(dòng)線上公益學(xué)習(xí)活動(dòng)，助“戰(zhàn)”高考.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，李華老師在任教的甲、乙兩個(gè)班中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行一次檢測(cè)，根據(jù)他們?nèi)〉玫某煽?jī)(單位：分，滿分100分)繪制了如下莖葉圖，記成績(jī)不低于70分者為“成績(jī)優(yōu)良”.

甲乙693679995108015699442734577788851106074332525

(1)分別估計(jì)甲、乙兩個(gè)班“成績(jī)優(yōu)良”的概率；

(2)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的學(xué)習(xí)效果更好.

【設(shè)計(jì)意圖】本題以“停課不停學(xué)”為背景，以莖葉圖為命題出發(fā)點(diǎn)，考查了古典概型概率，考查了對(duì)數(shù)據(jù)分析與數(shù)據(jù)處理的能力，第(2)問(wèn)比較“哪個(gè)班的學(xué)習(xí)效果更好”，是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，需要建立決策模型進(jìn)行解釋?zhuān)梢詮闹形粩?shù)、平均數(shù)、分?jǐn)?shù)的整體分布等方面入手，只要解釋合理都可以作為本問(wèn)題的答案.

【解析】(1)從莖葉圖中知，甲班學(xué)生成績(jī)不低于70分的共有10人，乙班學(xué)生成績(jī)不低于70分的共有16人，且成績(jī)不低于70分者為“成績(jī)優(yōu)良”.

(2)乙班學(xué)習(xí)的效果更好.

理由1：乙班樣本成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)多于甲班.

理由2：甲班樣本成績(jī)的平均分為70.2；乙班樣本成績(jī)的平均分為79.05.

(四)側(cè)重點(diǎn)放在模型假設(shè)和建模環(huán)節(jié)的命題

此類(lèi)問(wèn)題的命制一般也是基于一些確定的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)給出一些具有一定特征的數(shù)據(jù)、表格、圖象等，讓考生能夠通過(guò)觀察這些數(shù)字、表格、圖象等，找到一些規(guī)律，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，命題側(cè)重點(diǎn)放在假設(shè)和建模環(huán)節(jié).有時(shí)候，為了讓建模容易一些，可能會(huì)提供多個(gè)模型，讓考生根據(jù)數(shù)字、圖象等特征進(jìn)行選擇區(qū)分.要求學(xué)生會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)或者統(tǒng)計(jì)案例中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、分析，能從大量的數(shù)據(jù)中找到對(duì)研究問(wèn)題有用的信息，并作出判斷,解決實(shí)際問(wèn)題.

t012345678y1617.22022.82422.82017.216

【設(shè)計(jì)意圖】本題是常見(jiàn)的港口水深與時(shí)間關(guān)系的一個(gè)實(shí)際生活情景，要求考生能夠觀察數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的周期性規(guī)律，再通過(guò)畫(huà)圖觀察出該函數(shù)的圖象近似為一個(gè)三角函數(shù)模型，可以假設(shè)從最理想化的角度，建立三角函數(shù)模型，觀察題目所給的條件，設(shè)出三角函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=Asin(ωt+φ)+B，再根據(jù)數(shù)據(jù)特征，計(jì)算出y關(guān)于t的表達(dá)式即可.

有時(shí)候?yàn)榱私档碗y度，我們也可以給出多個(gè)模型，讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理后，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M(jìn)行求解.

【例7】某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每批產(chǎn)品的非原料總成本y(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(千件)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù),從y=kx+m與y=c·dx中選擇最合適的模型來(lái)擬合y與x的關(guān)系，預(yù)測(cè)生產(chǎn)該產(chǎn)品10(千件)時(shí)，每批產(chǎn)品的非原料總成本為_(kāi)_______元(結(jié)果保留整數(shù)).

x(千件)1234567y(元)611213466101196

【設(shè)計(jì)意圖】本題以產(chǎn)品生產(chǎn)為背景，構(gòu)建的是一個(gè)非線性回歸模型，要求考生能夠首先想到畫(huà)出樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，再選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，然后利用回歸方程計(jì)算，得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程，進(jìn)而預(yù)測(cè)生產(chǎn)該產(chǎn)品10(千件)時(shí)，每批產(chǎn)品的非原料總成本.

【解析】在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y與x的散點(diǎn)圖，如圖.