新舊高中數學課標中必修課難度的定量比較研究

林毅 周瑩

摘? ?要

高中數學必修課程內容是全體學生必要的數學學習內容，準確把握課程標準中必修課程內容的要求及變化對教師實施教學極為重要。選取《普通高中數學課程標準（2017年版）》與《普通高中數學課程標準（實驗版）》中的必修內容為研究對象，從課程廣度、課程深度、課程時間及課程難度四個維度進行定量比較研究，以期為教師在教學實踐中落實《普通高中數學課程標準（2017年版）》的課程要求提供實證依據及思考。研究結果表明：兩版課程標準在必修課程內容的廣度與深度方面基本持平，在課程時間與難度方面相差較大。因此，教師應當在教學中以數學核心素養為目的，有效實施多元教學，以單元教學設計為引領，高效規劃課時安排。

關鍵詞

課程標準? 課程廣度? 課程深度? 課程時間? 課程難度

為了落實“十八大”提出的教育“立德樹人”的根本任務，教育部于2014年提出核心素養以及學科核心素養，并且明確要求“研究制定學生發展核心素養體系和學業質量標準”，這個要求成為新課程標準修訂的重要原則[1]。通過對2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗版）》（以下簡稱《實驗版》）的問題進行修訂形成了《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《2017年版》）。對比兩個版本，課程結構從必修課程與選修課程并行的局面，轉變到必修課程、選擇性必修課程和選修課程三足鼎立的局面。其中，必修課程仍是全體學生必要的數學學習內容，然而其定位從“滿足未來公民的基本數學需求，為學生的進一步學習提供必要的數學準備”，轉變為“為學生發展提供共同基礎，是高中畢業的數學學業水平考試的內容要求，也是高考的內容要求”。本研究基于史寧中等人提出的課程難度模型，采用課程廣度、深度、時間和難度四個維度量化研究《2017年版》中必修課程內容的變化，并定性探究課程內容變化對教學實踐的啟示。

一、課程內容的整體比較

依據兩版課程標準的必修內容結構比較分析其系統性特征。《實驗版》必修課程內容分為5個部分，每個部分有特定的數學專題組成[2]。然而5個模塊之間呈現割裂狀，關聯性不強，模塊化的課程結構破壞了數學內容之間的邏輯聯系。例如函數主題的內容包括函數概念、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數、數列等分散在三個模塊中[3]。《2017年版》必修課程在整體內容上突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動四條主線，較好反映出高中數學學科特點，在數學邏輯體系、內容主線及知識之間的關聯，數學實踐和數學文化的融合等方面有明顯的改善[4]。具體來看，《2017年版》在主題1部分增添了預備知識，遵循了學生認知規律的發展，為銜接初高中數學提供了橋梁，有助于學生適應高中數學課程的教學。把數學建模活動與數學探究活動作為一條內容主線提出也是《2017年版》的亮點之一，數學建模、數學探究與數學文化內容滲透在各模塊和各專題之中，為提升學生的數學學科核心素養提供新方向。為方便后續量化比較，本文將以三條內容主線（函數、幾何與代數、概率與統計）為基礎劃分必修課程內容。

二、課程難度的定量分析

2005年，史寧中等人提出影響課程難度的三個主要因素有課程深度、課程廣度和課程時間，并以這三個因素構建了刻畫課程難度的定量模型：N=+ 。？墜為加權系數，0<？墜<1。其中N表示課程難度，S表示課程深度，G表示課程廣度，T表示課程時間，表示單位時間內的課程深度，即可比深度， 表示單位時間內的課程廣度，即可比廣度[5]。該模型把課程難度評價經驗理性化，使得課程難度研究由定性轉向定量。

1.課程廣度比較

課程廣度是課程的知識含量，可用課程含有“知識點”的多少來衡量[6]。本研究通過統計新舊課程標準中內容條目所涉及的知識點的個數來表征課程廣度，統計結果見圖1。從整體來看，雖然《2017年版》課程標準中對部分內容進行了調整和刪減，如算法初步內容的刪除，三角恒等變換、解三角形、基本初等函數Ⅱ整合為三角函數內容，數列及解析幾何初步等內容調整至選擇性必修課程，然而必修課程的總體課程廣度與《實驗版》基本持平。這表明，《2017年版》必修課程的總體知識容量仍然保持《實驗版》的水平，這與《2017年版》更為注重知識的細化與拓展有關。從部分來看，《2017年版》函數內容的課程廣度與《實驗版》相差無幾，幾何與代數內容的課程廣度略顯單薄，概率與統計內容有所增加。概率與統計內容增加的部分主要是對統計知識的縱深拓展和基本概念的補充說明，譬如樣本估計總體的集中趨勢參數及其統計含義、離散趨勢參數及其統計含義、百分位數及其統計含義以及樣本估計總體的取值規律。

2.課程深度比較

課程深度是課程目標對知識內容的要求程度[6]。以新修訂的布盧姆認知理論為依據，參考曹一鳴等人的劃分結果[7]，以新舊課程標準的目標行為動詞進行統計分類，本文將課程中出現的目標行為動詞劃分為逐層遞增的A、B、C、D四個層次。為減少賦值誤差，對各個知識點所對應的行為動詞進行賦值并求和，隨后算出平均值，以該平均值作為對應內容的課程深度。如圖2所示，《2017年版》比《實驗版》的平均課程深度要略低，課程目標對三個內容主線的要求基本處于B層次與C層次之間。就知識點的認知水平分布情況來看，《2017年版》中A層次和B層次的知識點占比分別為28.7%、37.8%，C層次和D層次的知識點占比分別為28%、5.5%。究其緣由，新版課程標準中必修課程內容的定位調整為滿足學生的高中畢業要求，側重于學生對數學知識的基礎內容的了解與理解。

圖2? 課程深度統計結果

3.課程時間比較

課程時間是學習課程內容所需要的時間，即“課時”。《實驗版》中必修課程分為5個模塊，每個模塊的課程時間為36課時，則總課時為180課時，而《2017年版》中必修課程的總課程時間為144課時。從整體來看，《2017年版》所要求的課程時間較少。由于《2017年版》中對內容主題的各個部分沒有明確的課程時間安排，為方便統計，本文假設預備知識中的四個部分課時安排均等，即集合、相等關系與不等關系、從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式的課時安排約為5課時。兩個版本各主線內容的課時安排見表1。

表1? 主線內容課程時間統計結果

4.課程難度比較

根據課程難度的計算公式N=+，加權系數？墜取值為0.5，分別計算三條內容主線及總體課程難度系數，結果見圖3。數據顯示，《2017年版》各個內容主線及總體的課程難度系數均高于《實驗版》，總體課程難度系數為0.644，其中概率與統計內容的課程難度系數高達0.952。從統計層面來說，兩版課標在課程廣度系數與課程深度系數方面不相上下，但由于課程時間安排的大幅縮減，造成《2017年版》課程難度系數的漲幅較高。

圖3? 課程難度統計結果

三、結論與啟示

1.以數學核心素養為目的，有效實施多元教學

《2017年版》在《實驗版》中的“五大能力”的基礎之上提出六大數學學科核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。由于課程目標更為綜合化、更具挑戰性，就在一定程度上導致課程內容的難度系數有所提高。在綜合的素養培養要求之下，單一的教學方式亟待改變，需要教師具有多元教學的技能與思想。多元教學是根據教學內容、教學條件、教學對象、教學目標等教學因素的差異性，采用各種方法靈活地進行教學，實現教學模式由單純的知識傳授向應用、創新能力與綜合素質培養的轉變[8]。因此，教師針對不同的課程內容需采取與之適應的教學方法，不拘囿于傳統教學模式的束縛，大膽創新教學形式與方法。如在數學建模教學中，教師可以引導學生使用數學軟件、編程軟件等現代教育技術完成數學模型的求解及驗證，可以帶領學生參與數學建模競賽體驗數學建模的樂趣與精彩，還可以鼓勵學生成立科研項目小組利用數學建模方法解決實際問題。讓學生在多種形式的教學環境下，經歷數學發生、發展及應用的過程，提升學生學習數學的興趣及主動性，為發展學生的學科核心素養提供源動力。

2.以單元教學設計為引領，高效規劃課時安排

造成《2017年版》中必修課程難度增加的局面，很大程度上可歸因于要求完成課程內容的課時大幅縮減。因此，教師在實施課程標準的教學實踐上將面臨的一個挑戰就是如何高效規劃課時安排。新課標中將內容以“主線—主題—核心內容”的系統化形式呈現，這便凸顯了單元教學設計在完成系統化知識教學時的重要性。數學單元教學設計是在整體思維指導下，從提升學生數學核心素養的角度出發，通過教學團隊的合作，對相關教材內容進行統籌重組和優化，并將優化后的教學內容視為一個相對獨立的教學單元，以突出數學內容的主線以及知識間的關聯性，在此基礎上對教學單元整體進行循環改進的動態教學設計[9]。單元教學設計是在單元流程設計的基礎之上考慮課時流程的設計，既以高屋建瓴之勢統籌整個單元教學計劃，又兼顧考慮每個課時之間的關聯與整合，形成耦合緊密的課時教學方案，這為教師破解課時局限、提高整體教學效益提供了一個可行途徑。單元教學設計可以以某一核心知識、數學思想或實際問題等作為主線組織教學內容。譬如，以三角函數作為學習主題進行單元教學設計，以數形結合的思想串聯函數與方程、函數與不等式形成一個單元，以產品質量檢測、教學水平測查等實際問題的解決為學習線索進行簡單隨機抽樣的單元教學設計。通過單元教學設計幫助學生在有限的課時安排中，有效進行數學核心內容的深度學習，促進對數學知識的本質理解，提升學生的數學關鍵能力及核心素養。

參考文獻

[1] 史寧中.高中數學課程標準修訂中的關鍵問題[J].數學教育學報，2018，27（01）.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[3] 胡鳳娟，呂世虎，張思明，等.《普通高中數學課程標準（2017年版）》突破與改進[J].人民教育，2018（09）.

[4] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[5] 史寧中，孔凡哲，李淑文.課程難度模型：我國義務教育幾何課程難度的對比[J].東北師大學報：哲學社會科學版，2005（06）.

[6] 李淑文.中日兩國初中幾何課程難度的比較研究[D].長春：東北師范大學，2006.

[7] 曹一鳴，王萬松.高中概率統計內容設置的國際比較——基于15個國家數學課程標準的研究[J].數學教育學報，2016，25（01）.

[8] 冉匯真，楊興坤，朱家明.論多元教學方法在模塊教學中的應用——以《公共關系學》課程教學為例[J].中國成人教育，2014（11）.

[9] 呂世虎，楊婷，吳振英.數學單元教學設計的內涵、特征以及基本操作步驟[J].當代教育與文化，2014，08（04）.

[作者：林毅（1994-），女，廣西桂平人，廣西師范大學數學與統計學院，碩士生;周瑩（1962-），女，浙江嵊州人，廣西師范大學數學與統計學院，教授，碩士。]

【責任編輯? 郭振玲】