基于彈性網—自回歸模型的股票價格研究

韓 情 汪子琦 耿文靜

(安徽大學經濟學院 安徽 合肥 230601)

一、引言

近年來股票投資逐漸成為熱門，如何有效提高投資收益成為了學界和業界需要持續探討和研究的問題。在研究股票價格的眾多模型中，時間序列模型最受大家青睞，因為時間序列預測法正迎合股票價格變化發展的隨機性及其時變性等特點，可通過建立模型以預測股票未來發展的趨向[1]。自回歸模型是時間序列模型中最常用的一種模型，能較為直觀的描述股票價格的動態變化[2]。由于AR(p)模型在擬合的過程中無法進行變量剔除，Tibshirani(1996)[3]提出了Lasso回歸方法,通過構造一個懲罰函數得到一個簡化模型，將一些回歸系數壓縮至零。Nardi Y(2011)[4]等對Lasso回歸方法進行數據模擬和實證研究，發現Lasso回歸方法適用于AR(p)時間序列模型的參數估計和階數選擇。Zou(2006)[5]對Lasso方法進行改進，在L1項的懲罰系數前加自適應權值，提出了自適應Lasso法。謝儀(2014)等[6]利用數據模擬發現自適應Lasso方法在AR(p)模型估計中具有實用性。但Lasso系列方法仍存在一些不足，比如:當數據具有很強的共線性時，它的選擇效果會減弱。因此，Zou(2005)等[7]提出了Elastic Net回歸模型：將L1和L2懲罰項進行凸線性組合。

縱觀上述已有研究結果，多數學者都論證了Lasso類方法在自回歸時間序列模型中的適用性，受此啟發，本文將彈性網方法應用于AR(p)模型中，并比較彈性網方法、Lasso方法以及ALasso方法對AR(p)模型預測效果的改進性。

二、模型簡述

考慮自回歸模型AR(p)：

yt=β0+β1yt-1+β2yt-2+…+βpyt-p+εt

(1)

針對模型(1),可通過最小二乘法構造二次損失函數，最小化期望損失可得模型的參數估計結果：

(2)

雖然上述模型通過簡單求偏導即可得到參數估計結果，但其結果易受自變量相關性強弱的影響，Tibesirani(1996)[3]提出了Lasso方法，在(2)中加入L1懲罰項,使模型的一些參數收縮至零，同時實現變量選擇和參數估計，其參數估計表示為：

(3)

(4)

Lasso類方法雖然具有良好的變量選擇性質，但會出現過度壓縮的情況，實際應用中，人們更希望將所有與被解釋變量有關的影響變量包含在內。基于上述考慮，Zou(2005)等[7]提出了Elastic Net方法，該種方法將L1正則項和L2正則項均加進懲罰項中，具體參數估計形式表現為:

(5)

觀察式(5)可以看出(3)和(4)均是其特例，因此Elastic Net方法也具有變量選擇的特點。考慮到彈性網方法的綜合性，本文就采用此方法對AR(p)模型進行參數估計。

三、實證研究

(一)數據處理

本文選取2017年1月1日至2019年11月31日的上證綜合指數的日收盤價作為建模數據，將2019年12月前十個交易日的收盤價作為模型測試數據。本文數據來自于新浪財經(https://finance.sina.com.cn)。根據所選區間內的上證綜指日收盤價繪制出如圖1所示的樣本時間序列圖，從圖1可以看出，該樣本數據有明顯的波動趨勢，總體呈現先下降后上升的態勢，由此初步判斷數據并不平穩。

圖1 上證綜指日收盤價格時序圖

然后對數據進行詳細的描述性統計分析以及正態性檢驗，結果見表1。由表1可看出，整體數據的偏度系數大于零，峰度系數不等于3，且J-B統計量的結果為15.924，表明該樣本序列不服從正態分布。進一步對其進行單位根檢驗，所得ADF檢驗對應p值為0.709，說明該序列確實不是平穩的。

表1 上證綜指日收盤價的描述性統計

本文對上證綜合指數的日收盤價進行一階差分處理，再對其做平穩性檢驗，得到的p值是0.01，表明差分后的數據是平穩的。因此，本文以上證綜指的日收盤價的一階差分值作為模型的被解釋變量，可記作yt,其滯后p階的一階差分值作為解釋變量，以此建立自回歸模型。

(二)模型建立

為了精準地確定AR(P)模型的階數，本文選用AIC定階準則，利用R軟件繪制出各階模型的AIC取值圖。從圖2中也可以明顯地看出，當P取7時模型的AIC值最小，因此本文最終選擇AR(7)模型。

圖2 AIC值點線圖

模型定階以后，本文依次運用Lasso，ALasso，Elastic-net方法對AR(7)模型進行變量選擇處理，得到具體的模型估計結果見表2。從表2的數據可以看出，自適應Lasso方法下的變量個數更少，說明這種方法對變量進行了過度選擇，會刪除某些對被解釋變量有影響的因素。

表2 三種方法下變量選擇以及參數估計結果

三種模型建立以后，我們對擬合模型進行充分性檢驗。其殘差序列白噪聲檢驗的p-value以及檢驗結果見表3。從3可知，三種方法下對應的檢驗p值都大于0.05，無法拒絕原假設，說明這三個模型對數據的建模是充分的，我們可以選擇上述的三種模型對yt進行樣本外預測。

表3 三種方法下的擬合模型的Ljung-Box檢驗結果

(三)模型預測

接下來本文利用上述三個模型對2019年12月前十個交易日的日收盤價進行估計，并利用平均絕對誤差計算預算精度，具體結果見表4。根據表4可以發現，應用彈性網方法得到的估計值有5天更接近真實值，預測效果優于其他兩種方法。尤其是第7天的股票預測值里，Elastic-net方法得到的絕對誤差僅為1.881。綜合比較三種模型的預測效果，彈性網方法的MAE值最小為12.995，明顯小于Lasso方法和ALasso方法，說明通過彈性網方法得到的AR(7)擬合模型的預測效果最佳，也表明在與自適應時間序列模型的結合中，彈性網方法的參數估計能力優于Lasso類方法。

表4 上證綜指19年12月前十天日收盤價估計結果

四、結論

在對自回歸模型進行變量選擇上，Lasso類方法可以有效實現，但考慮到Lasso類方法系數收縮的極致性，本文提出了彈性網方法與自回歸模型的結合。通過對上證綜指2017年1月至2019年11月間日收盤價的一階差分值建立AR(7)模型，運用Lasso方法、ALasso方法和彈性網方法進行變量選擇以及參數估計，進而對2019年12月前十個工作日的日收盤價進行預測，結果表明：綜合了L1和L2正則項的彈性網方法在模型預測效果上明顯優于其他兩種方法，預測誤差最小。彈性網方法與AR(p)模型的結合是探究時序模型的新思路，一方面它的變量選擇性能可以簡化傳統時序模型，另一方面也能提高模型的預測能力，對以后的股票價格預測具有重要的現實意義。當然，彈性網方法與自回歸模型的結合也可擴散至對其他時間序列數據的研究，這對今后的時間序列模型的發展具有很好的借鑒意義。