“力線”模型在機(jī)械波能量傳播中的應(yīng)用
——以大學(xué)物理課程為例

胡樹鐸

（河西學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 張掖 734000）

引言

“力線”模型最初是法拉第為解釋電磁體之間非接觸力而引入的.法拉第想象力線是物質(zhì)的，充滿整個(gè)空間，其在縱向具有張力，在橫向彼此排斥［1］.通過“力線”模型的建立，形象呈現(xiàn)了電磁場的空間結(jié)構(gòu)，在基礎(chǔ)物理教學(xué)中使學(xué)生對電磁場有了直觀理解，降低了學(xué)習(xí)的難度.

理工科《大學(xué)物理》課程教學(xué)過程中，為描述機(jī)械波在各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)的能量密度變化情況，引入能流密度的概念.但這一概念的物理定義不夠直觀和形象，使部分學(xué)生理解不夠透徹，不能準(zhǔn)確把握其物理本質(zhì).在各向同性介質(zhì)中，不考慮介質(zhì)吸收的情況下，平面波能量密度不發(fā)生變化，而球面波和柱面波的能量密度發(fā)生衰減.對于球面波和柱面波能量密度衰減特征，教材中用橫波振幅的衰減來解釋.但用這種方法描述時(shí)也存在大部分學(xué)生理解困難的現(xiàn)象，特別是在解釋縱波能量傳播特征時(shí)表現(xiàn)得尤為突出.

針對上述問題，在教學(xué)中，筆者嘗試建立類似“力線”的“波射線”模型，用“波射線”空間密度的變化來描述機(jī)械波的能量傳播特征，取得不錯的教學(xué)效果.因此，有必要對這一物理過程建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以期后續(xù)對這一問題的講授提供幫助.

1 機(jī)械波能量的傳播特征

現(xiàn)以在弦線中傳播的橫波為例（如圖1所示）來說明機(jī)械波能量的傳播特征.當(dāng)機(jī)械振動由波源傳播到介質(zhì)的某處時(shí)，該處原來不動的某一線元（圖1陰影部分）開始振動，具有動能，同時(shí)該處的線元也將產(chǎn)生形變，因而也具有勢能，機(jī)械波的能量依靠介質(zhì)由波源向外傳播出去.該線元 xΔ 的機(jī)械能為［2］：

式中：λ 指弦線的線密度， A 指線元的振幅，ω 指波源的角頻率，u 指波的傳播速度，φ 指波源的初相.

由（1）式可以看出，線元的機(jī)械能隨時(shí)間呈周期性變化.為更好地描述機(jī)械波能量在介質(zhì)中的傳播，引入能量密度的概念（即介質(zhì)中單位體積內(nèi)的能量），用w 表示.設(shè)弦線的橫截面積為S，體密度為ρ，并且體密度與線密度的關(guān)系為Sλρ =，則其能量密度為：

圖1 機(jī)械波能量特征

可見，機(jī)械波的能量密度是隨時(shí)間呈周期性變化，為方便起見，取其一周期T 內(nèi)的平均值：

雖然上式是來自弦線中橫波的特殊情況，但其能量與振幅的平方、頻率的平方成正比的結(jié)論對所有機(jī)械波都是適用的［2］.

2 波通量的定義

機(jī)械波的能量是由波源開始，依靠彈性介質(zhì)以波速u 向外傳遞，為描述這一過程，引入“波射線”的概念（如圖2所示），規(guī)定：

（1）波射線是有向射線，起始于波源，射線的箭頭以波速u沿介質(zhì)前進(jìn).

圖2 波射線示意圖

表示單位體積內(nèi)波的平均能量以波速u 向外連續(xù)傳遞.

圖3 通過曲面的波通量

3 平面波、球面波及柱面波能量的傳播特征

圖4 平面波

3.1 平面波

3.2 球面波

圖5 球面波

圖6 球面波平均能量密度隨距離衰減曲線

表明：柱面波在傳播過程中，波場強(qiáng)度K?的大小與其離開波源的距離成反比關(guān)系.同時(shí)也表明柱面波平均能量密度在傳播過程中呈衰減狀態(tài)，衰減曲線如圖8所示［3］.

4 教學(xué)中的比較

上述模型的建立，是類比電磁場中的“力線”而引入“波射線”的. 因而，兩者表示所對應(yīng)能量空間分布特征在物理本質(zhì)上是否一致，是要考慮的問題.此外，目前我校所用《大學(xué)物理》教材中，章節(jié)編排上多選擇將電磁學(xué)部分置于機(jī)械波之前［2-5］.那么，如果兩者在物理本質(zhì)上是等價(jià)的，就可降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度.現(xiàn)以點(diǎn)電荷產(chǎn)生的靜電場和機(jī)械波中的球面波為例進(jìn)行比較說明.

設(shè)真空電容率為0ε ，有一帶正電的點(diǎn)電荷 q+ ，其所產(chǎn)生的靜電場如圖9所示（為簡單起見，示意圖以二維形式表示），在空間某點(diǎn)p 處場強(qiáng)的大小為：

圖8 柱面波平均能量密度隨距離衰減曲線

圖9q+ 產(chǎn)生靜電場空間結(jié)構(gòu)

5 結(jié)論

從上述分析可以看出，建立類似電磁場中“力線”的“波射線”模型，可以有效地描述機(jī)械波在各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)的能量變化特征.相對用能流密度表示機(jī)械波能量的傳播特征，該模型有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

（1）物理圖像比較形象、直觀，很好地闡釋了機(jī)械波能量的傳播本質(zhì).

（2）教學(xué)時(shí)，學(xué)生已掌握電磁場能量空間分布規(guī)律，可以較容易理解這一物理過程，降低了學(xué)習(xí)的難度，加深了對物理本質(zhì)的理解.