巧用三角函數圖像 智解水庫水量變化問題
——以北半球地中海氣候為例

山東

一、問題產生背景

高中地理對氣候的考查主要體現在氣候類型的判讀、氣候特征的識記，以及氣候分布的分析等。其中對地中海氣候的考查在各種氣候類型中占有較大比例。試題對地中海氣候類型區內水庫水量變化問題的考查一般較難，學生需結合地中海氣候類型特點、所考查地區的南北半球分布等信息在一個動態的過程中把握地中海氣候區水庫水量的變化情況。通過深度研究地中海氣候區水庫水量變化情況，在實際教學的基礎上提出較為合理的數學模型，即將一年內北半球地中海氣候區水庫水量盈余率/量、隨月份的變化情況模擬成sin、cos函數的形式，方便學生學習記憶，有利于學生加深理解，在實際教學過程中收到良好的效果。

二、地中海氣候區水庫水量的考查方式

通常情況下地中海氣候區水庫水量的考查借助地中海氣候類型的氣溫降水量柱狀圖以及水量盈余率/量進行考查。水量盈余率/量是衡量水庫蓄水量變化的重要指標(水量盈余率=流入量/流出量)(水量盈余量=流入量-流出量)。而水量盈余率/量是最常見的考查方式。一般情況下水量盈余率/量有三種類型表現形式：表格法、折線圖法、曲線圖法(如表1、圖1、圖2)。

表1 水庫盈余率表格表示法

圖1 水庫盈余率折線圖表示法

圖2 水庫盈余率曲線圖表示法

三、sin、cos函數模型圖像的擬合

1.給定某一地中海氣候氣溫降水量示意圖(如圖3)

圖3 地中海氣候氣溫降水量示意圖

2.將全年各月降水距平進行擬合

從圖3可知地中海氣候全年各月降水6—8月最少，12月—次年2月最多。由于地中海氣候區水庫、湖泊全年主要補給方式為大氣降水，這里我們暫不考慮地下水等補給方式。這樣降水量的變化情況可以與月份擬合成sin函數關系(如表2、圖4)，同理水庫、湖泊水量盈余情況可以與時間擬合成相應的cos函數(如圖4)。

表2 全年各月距平降水量與時間(月份)的擬合數據表

圖4 北半球地中海氣候區sin、cos函數模型

(全年各月距平降水量、水庫水量盈余量隨月份變化情況示意圖)

注：水庫水量盈余量為多年均值。

3.圖像解析

圖像分兩部分，下部實線為sin函數圖像；上部為cos函數圖像。兩者周期皆為1年。由sin函數圖像可知北半球地中海氣候區在冬半年(9月—次年3月)函數曲線分布在x軸上部，即在冬半年各月距平降水量數值為正，則可推知北半球地中海氣候冬半年各月降水量>此氣候區全年平均降水量；同理北半球地中海氣候夏半年(次年3月—次年9月)各月降水量<此氣候區全年平均降水量。在一個年度周期內，3月與9月距平降水量與全年平均降水量相等。由cos函數圖像可知北半球地中海氣候區水庫水量盈余量在3月份達到一年中最大值(如圖4，圖中的豎直虛線所示)，在9月份達到一年中的最小值。

四、sin、cos函數模型圖像在解題中的應用

1.典型例題

圖5是受西風季節性影響的某水庫各月水量盈余率統計圖。據此完成下題。

圖5

推斷該水庫水位

( )

A.3月最高 B.6月最低

C.9月和3月一樣高 D.10月最高

2.典型分析

根據數值規律發現此圖表示的地點正是北半球某地中海氣候區的水庫，則其規律如圖4所示。圖4中所示水庫水量盈余量即為此時水庫的實際水量，對同一水庫而言水量與水位呈正相關，即水量越大水位越高，水量越小水位越低。據此學生可以快速鎖定答案為A。

3.應用展望

本文為方便討論只驗證了北半球地中海氣候區的情況，本函數同樣適用于南半球地中海氣候類型區(需要將橫坐標的時間都加6個月，縱坐標不變，函數圖像不變)。

本函數圖像作為數學內容應用到地理教學中既體現出地理學的包容性也使數學三角函數這一模塊更具有生命力。將這一函數圖像應用于此類問題的教學和解題，既方便學生的理解又能使學生快速掌握加深記憶。在教學過程中注意引導學生發現學科之間的聯系，是現代教育提高學生核心素養、增強學生學習能力的重要體現。