二次函數中三角形面積最大值問題解法探究

謝雄俊

【摘 ?要】近年來，二次函數圖象中以動點引起的三角形面積變化問題，因底或高的不確定性，往往不能直接利用三角形面積公式求解。此類問題綜合性強，靈活多變，給學生帶來了解題困擾。

【關鍵詞】二次函數;三角形面積;最大值

中圖分類號：G633.62 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：0493-2099（2020）27-0142-02

【Abstract】In recent years， the problem of changes in the area of triangles caused by moving points in quadratic function images cannot often be solved directly using the triangle area formula due to the base or high uncertainty. This type of questions is comprehensive and flexible， and it causes problems for many students.

【Keywords】Quadratic function; Triangle area; Maximum

二次函數是初中數學知識體系中的重點和難點，它綜合幾何圖形形成的綜合題和探究題更是增加了學習的深度和廣度，對學生的思維能力和學習能力提出了更高的要求，成了近年來中考的熱點。本文將以2016年湖南省某市數學中考第26題為例，就二次函數中三角形面積最大值問題的解題思路、方法與技巧進行探討和歸納，供大家參考。

評析：割補法通過靈割、巧補化不規則圖形為規則圖形或化不規則圖形為有利于面積表達的常規幾何圖形進行面積的推導和計算。本題利用割補法求[△ABP]的面積，關鍵在于分割出有利用面積表達的[△ADP]和[△BDP]，利用其面積和減去[△ABD]的面積。使用割補法解題時可考慮乘法分配律與結合律，降低運算難度。

解法二：鉛錘法

評析： 切線法從幾何模型的角度另辟蹊徑解決了二次函數中三角形面積最大值問題。題中因三角形底[AB]為定值，要求面積最大，只需高[PF]最大。又因為[P]是拋物線上一個動點，且在[AB]下方，可過動點[P]作直線[AB]的平行線l逐漸向下平移。移動中發現直線與拋物線交點數從2個變為1個時，高[PF]最大，此時三角形面積最大。本文從各個角度探究了二次函數中三角形面積最大值問題的解法，但在教學中，引領學生探究習題的解法，不只是為了讓學生會用不同的方法解題，重要的是啟發學生的思維，發展學生的思維，提高學生解決問題的能力。

參考文獻：

[1]高培旺，快樂學幾何：平面幾何解題的模型法[M].湖南科學技術出版社，2002.

[2]許世文.“三角形面積最大值”問題的解題技巧[J].數學大世界（初中版），2011（Z2）.

[3]楊永巍.函數綜合題中斜三角形面積最大值的多種求法[J].數學學習（海口），2015（04）.

（責任編輯 ?范娛艷）