數形結合讓數學學習可視化

張衛星

摘 ? ?要 ?數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系和直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過以形助數或以數解形使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而讓數學學習可視化。讓數學學習可視化的策略有：讓概念可視，讓算理可視，讓數理可視，讓規律可視，讓過程可視，讓思路可視，讓策略可視。

關鍵詞?數學教學 數形結合 數學學習 可視化

可視化，即讓抽象的數學道理、數學思考和數學思維顯性化，強調學生可以通過動手操作讓數學道理摸得著，通過語言表達讓數學思考聽得到，通過直觀表征讓數學思維看得見。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系和直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過以形助數或以數解形使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而讓數學學習可視化。由此可見，數形結合是實現數學學習可視化的重要手段。借助數形結合，可以促進學生的深度學習，從而形成和發展學生的數學核心素養。

一、讓概念可視

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式。數學概念比較抽象，有時候不容易理解。而借助數形結合，可以把抽象的數學概念可視化，讓學生在不知不覺中理解其本質屬性。

例如，人教版《數學》六年級上冊“百分數的意義”一課，學生對“表示一個數是另一個數的百分之幾”這一內涵容易理解，也容易理解表示部分與整體關系的百分數（不大于100%），而對表示兩個獨立量之間倍數關系的百分數（可以大于100%）難以理解。為此，筆者借助課件的動態演示設計了如下三張圖片（見圖1、圖2、圖3），讓學生說說乙車速度各是甲車速度的百分之幾？

圖1中，甲車速度平均分成10份，乙車速度具有相同的8份，學生容易說出乙車速度是甲車速度80%，表明乙車速度慢、甲車速度快。借助課件動態演示，乙車速度延長至相同的10份（見圖2），學生也容易說出乙車速度是甲車速度100%，表明乙車速度和甲車速度一樣快。繼續借助課件動態演示，乙車速度延長至相同的11份（見圖3），這時學生會感覺到乙車速度比甲車速度快，借助80%和100%這兩個百分數產生的經驗，學生自然而然會說出乙車速度是甲車速度的110%。在此基礎上，筆者適時追問：之前說百分數不能大于100%，為什么現在又可以了？然后師生一起找出原因：因為現在的乙車速度是甲車速度的1.1倍，所以百分數大于100%。在此基礎上，順勢提煉出這樣的結論：當百分數表示部分與整體的關系時，百分數不能大于100%;當百分數表示兩個獨立量之間的倍數關系時，百分數可以大于100%。這樣，借助數形結合，突破了教學的難點——表示倍數關系的百分數，從而讓百分數的概念建構更加完整、更加深刻。

二、讓算理可視

計算教學看似簡單，實則不然。唯有讓學生真正理解算理和算法，才算教學成功。而算理又是算法的前提，因此計算教學的核心是讓學生理解算理。而算理具有一定的抽象性。若能借助數形結合，則可以讓抽象的算理可視化，從而讓學生輕松理解。

例如，在教學人教版《數學》四年級下冊“除法的運算性質”一課時，筆者設計了如下兩張幻燈片（見圖4、圖5），然后借助其動態演示，學生就能較好地理解其算理了。

圖4中，筆者以長方形圖片為載體，先平均分成5份，再平均分成2份，最后結果跟直接平均分成10份是一樣的。這個動態演示其實是從除法意義的角度來思考的，學生容易理解，從而讓學生知道一個數連續除以兩個數（0除外），可以把兩個除數先乘起來，讓學生初步形成除法運算性質的模型。圖5中，以第一個圓形圖片為載體，借助動態演示，先把它平均分成4份，再把它平均分成2份，最后結果跟直接平均分成8份是一樣的，從而驗證a÷4÷2=a÷（4×2）這一除法運算性質的初步模型，進而提煉出a÷b÷c=a÷（b×c） （b、c≠0）這個除法運算性質的第一個正式模型。在此基礎上，筆者繼續用第2個圓形圖片為載體，讓學生感受把一個圓先平均分成4份、再平均分成2份，和先平均分成2份、再平均分成4份，結果是一樣的——把圓平均分成8份。在此基礎上，順勢提煉出a÷b÷c=a÷c÷b（b、c≠0）這一除法運算性質的第二個正式模型。

三、讓數理可視

數本身就比較抽象，有些數學生真的很難理解。針對一些學生難以理解的數，不要一味講解，而應努力想辦法讓它可視化。若能將某些數可視化，學生就能真正理解數理，從而大大提高學習效率。當然，讓數理可視的前提是教師自己要先理解數理。

例如，在教學人教版《數學》四年級下冊“小數的近似數”時，對近似數末尾的0為什么不能去掉，用言語很難講清道理。為此，筆者設計了如下的線段圖（見圖6）。

借助線段圖，學生能夠明白近似數是1的小數范圍是：大于等于0.5而小于1.5;而近似數是1.0的范圍是：大于等于0.95而小于1.05。這樣一來，學生就可以感受到近似數1.0和近似數1的意義完全不同，那么學生就不會隨便把近似數末尾的0去掉了。同時借助圖片，學生也能理解近似數是1的取值范圍比較大，近似數是1.0的取值范圍比較小，從而理解保留的小數數位越多，精確度越高，越接近實際數據這一道理。同時，學生通過觀察圖片也能理解一個近似數是1.0或1的小數的范圍要從“四舍”和“五入”兩個角度去找，從而明白“找原來最小的數要從‘五入方向找，找原來最大的數要從‘四舍方向找”這一道理。

四、讓規律可視

數學規律是通過觀察和思考提煉出來的一種普遍的數學現象，比較抽象。理解數學規律需要數學智慧的參與。只有深刻理解數學規律的表象，才能真正理解其內涵。因此，借助數形結合讓抽象的數學規律直觀可視，就可以讓學生快速理解。

例如，在教學人教版《數學》五年級上冊“三角形的面積”時，“等底等高的三角形面積相等”這一規律，單憑幾個例子很難讓學生信服。為此，筆者設計了如下的練習（見圖7）。