淺談借助“數學畫”解決問題的教學策略

管安

解決問題通常都是結合生活情境，信息呈現方式繁多或者圖文并茂。學生在讀題過程中容易被文字信息繞住，但是在教學中加入“數學畫”模型建構的過程，當學生再遇到此類問題時，會主動分析題目信息之間的聯系，再次回憶起數學模型的基本數量關系。

一、直觀想象作鋪墊：引兒童學數學

小學生的認知處于由形象直觀思維為主向抽象邏輯思維發展過渡的階段，我們的數學教學需要回歸兒童視角，緊貼兒童認知發展水平進行。先讓學生畫圖，利用“看得著”的圖形讓學生基于圖形展開空間想象：看著自己畫的圖形，學生會更容易回憶和體會相關知識，更便捷地知道怎樣可以使已知信息解決問題;如果不畫圖，學生憑空想象，要解決問題并非易事，而且很多學生甚至包括大部分成人還是要在腦海里完成直觀想象。

借助可視化的直觀圖形展開直觀想象，其實也暗含著對概念的直觀理解和對問題的合情推理，例如：長方形圖應用廣泛，長方形圖可以表示長×寬=面積這個數量關系，也可以單價×數量=總價，速度×時間=路程諸如此類的數量關系建立聯系。借助長方形圖，激發了學生對組合圖形的直觀理解，使學生對實際問題能不言自明，迎刃而解。所謂“有圖有真相”，作為數學學科研究對象的“數”與“形”在相互結合的同時又各具特色，形的直觀性和背后的“數的背景”使其具有一種“簡單的深刻”，有利于小學生的概念理解和問題解決。以易于理解的圖形問題激發學生思考其中的內在聯系，進一步引導學生既看到圖形的直觀性，更看到圖形的抽象性。

二、畫圖整理助探究：從畫題意到畫思路

問題解決領域的“數學畫”我們統稱“畫思路”，若細加考量還可以有“畫題意”和“畫思路”之分。所謂“畫題意”即畫圖表征題意，也是整理題目中的數量關系，先理清已知什么？求什么？

例題：梅山小學有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？引導學生的一系列畫圖，畫題意，細致到位，有助于學生理解題意和數量關系。文字與圖形互譯的過程就是幾何直觀把復雜的數學問題變得簡明、形象的過程，這有助于直觀理解數學，探索解決問題的思路，預測結果。一旦學生把問題表征清楚了，問題也就解決了一大半。

問題解決中的很多問題根源都出在“理解題意”上。培養學生的幾何直觀意識和能力對于發展學生的數學抽象思維顯得尤其重要。通過“數學畫”結合實際問題，學生逐步掌握用圖形描述和分析問題，并能逐步優化出更為簡潔的圖形表示，借助圖形使問題簡明、形象，并敢于在獨立解決實際問題的過程中借助“數學畫”分析。幾何直觀基于“圖形與幾何”，又超越“圖形與幾何”。

畫好題意之后，有些學生會繼續將解決問題的思維過程清楚地畫出來，這就是“畫思路”，這方面最能體現學生思維的個性差異。讓不同解法的學生展示自己的圖，依圖說思路。畫圖解決，很清晰地畫出了解決問題的思考過程有助于鍛煉思維的有序性條理性和多樣性靈活性，有助于師生發現思維的疏漏之處便于更好地進行“教”的引導和“學”的改進，有助于學生想得“更清晰、更深入、更全面、更合理。

三、多方畫圖破難點：紙上畫和腦海畫

畫圖有三種水平，第一是在紙上畫，第二是在腦海畫，最高水平是在腦海畫后再在紙上畫加以驗證。對于畫圖輔助問題解決來說，首先當然是紙上畫圖，整理題意，理清數量關系，思維可視化，順利找到解決問題的方法;熟練了以后，可以不用紙上畫圖，直接在腦海想象，這也是空間想象力的發展;總有些問題比較復雜，僅憑腦海想象很容易出錯，需要再回歸紙上畫圖驗證和修正想象。

例如：“長和寬各增加8米，面積增加了多少平方米？”這樣的問題，學生很容易錯用40×8+50×8=720（平方米）的計算解答，僅憑“想當然”的直觀想象難以準確把握。當學生在畫圖時出現偏差，就要請學生紙上畫圖看看“到底是不是”，回到問題的本源處追問：“一個長方形長和寬各增加8米后會是一個什么圖形？”引導學生重新審視所畫的圖，認識到“少了一個角”，從而及時發現和修正問題。這樣的經驗緊接著就被學生遷移到“長和寬各減少8米，面積減少了多少平方米？”等問題解決中去。而“有沒有可能長增加和寬減少一定的米數，而面積不變呢？”成功地將學生的思考延伸到課后。

“數學畫”不僅是一種解決問題的策略和方法，也是學生內隱性思維的一種外顯化，從而“暴露”學生思維中的偏差和錯誤，促使學生和老師能夠清晰地看見偏差和錯誤，進而使得老師的“教”和學生的“學”都有了支點，糾正“偏差”和修正“錯誤”的過程就是學習真正發生的過程。