教學(xué)考試雜志社“優(yōu)師計(jì)劃”階段性成果展示
——高考重難點(diǎn)相關(guān)試題選登

【編者按】教學(xué)考試雜志社自發(fā)起“優(yōu)師計(jì)劃”以來，已經(jīng)完成了諸多研究方向，涌現(xiàn)出一大批優(yōu)秀團(tuán)隊(duì)的同時(shí)也研發(fā)出許多優(yōu)秀成果.本期雜志從2019-2020年一系列的研發(fā)成果中精選出部分適合一輪復(fù)習(xí)階段的優(yōu)秀原創(chuàng)試題進(jìn)行展示.同時(shí)歡迎更多教師加入“優(yōu)師計(jì)劃”，雜志社愿與更多的教師共同成長(zhǎng).

( )

【答案】A

【考查角度】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式的運(yùn)用，考查推理論證能力，考查邏輯推理、應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

( )

A.1 B.2

【答案】C

【考查角度】本題考查誘導(dǎo)公式、輔助角公式、特殊角的三角函數(shù)值、二倍角公式.

【考查角度】本題考查正弦定理、余弦定理,考查運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).

( )

【答案】B

【考查角度】本題考查基本不等式、正弦定理、余弦定理，考查推理運(yùn)算能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】正弦定理和余弦定理是高中數(shù)學(xué)中較為重要的知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn)．本題根據(jù)三角函數(shù)化簡(jiǎn)以及三角形面積公式得到面積最大值.

【考查角度】本題考查三角形正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)變換及性質(zhì)，考查推理論證、運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

6.【研發(fā)題】在△ABC中，若sinB恰好為sinA與sin(A+B)的等差中項(xiàng)，則角B的最大值為.

【考查角度】本題考查正弦定理、余弦定理和均值不等式的應(yīng)用,考查推理論證、運(yùn)算求解能力,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

【教材鏈接】正弦定理、余弦定理：人教A版必修5 1.1.

【考查角度】本題考查基本不等式、正弦定理、余弦定理,考查推理運(yùn)算能力,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】正弦定理和余弦定理是高中數(shù)學(xué)中較為重要的知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn).本題利用三角函數(shù)化簡(jiǎn)、三角形面積公式并結(jié)合基本不等式得到面積最大值.

8.【研發(fā)題】(本小題滿分12分)

△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a-bcosC=csinB.

(Ⅰ)求B；

(Ⅱ)若AC=2,求△ABC面積的最大值.

【考查角度】本題考查正弦定理、余弦定理、面積最值以及均值不等式的應(yīng)用,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

(Ⅰ)首先利用正弦定理進(jìn)行邊角互化,再利用三角函數(shù)中兩角和與差的正弦公式,輔助角公式,即可求得B；(Ⅱ)利用余弦定理、均值不等式求解即可或利用正弦定理、兩角差的正弦公式結(jié)合輔助角公式求解即可.

【解題分析】(Ⅰ)由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中R為△ABC外接圓的半徑),得2RsinA=2RsinBcosC+2RsinCsinB,

即sinA=sinBcosC+sinCsinB.

(2分)

又A=π-(B+C),

∴sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

(4分)

即sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB,

∴cosBsinC=sinCsinB.

∵sinC≠0,∴cosB=sinB,且B為三角形內(nèi)角,

(6分)

(Ⅱ)解法一:由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，

(8分)

(12分)

解法二：由正弦定理,

(12分)

9.【研發(fā)題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)若a=2c=4,求邊b的大小；

【考查角度】本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解題分析】(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理可得

(1分)

(2分)

(3分)

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=12,

(6分)

(Ⅱ)由cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC

(7分)

(9分)

∵b2=12,∴ac=4,

(10分)

(12分)

10.【研發(fā)題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)若a=2c=4，求b；

【考查角度】本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

(Ⅰ)先根據(jù)已知條件可考慮用正弦定理，化邊為角，求出一個(gè)確定的角B，再利用余弦定理即可求解;(Ⅱ)根據(jù)已知條件,考慮利用正弦定理可得b2=3ac,再由三角形面積公式即可解得△ABC的面積.

【解題分析】(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理可得

(1分)

在銳角△ABC中，

因?yàn)閟inC>0，

(3分)

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=12,

(6分)

(7分)

所以b2=3ac.

(9分)

因?yàn)閎2=12,

所以ac=4,

(10分)

(12分)

11.【研發(fā)題】(本小題滿分12分)

在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

且m=(b-c,a),n=(b-c,-a),m·n=-bc.

(Ⅰ)求A的值;

【考查角度】本題考查正弦定理、余弦定理、平面向量的數(shù)量積、基本不等式等知識(shí)的綜合應(yīng)用.

【解題分析】(Ⅰ)由m=(b-c,a),

n=(b-c,-a),

m·n=(b-c)(b-c)+(-a)a=-bc，

得b2+c2-a2=bc,

(2分)

(5分)

(7分)

(8分)

(11分)

(12分)

【答題啟示】對(duì)于含有a+b,ab及a2+b2的等式,求其中一個(gè)的范圍時(shí),可利用基本不等式轉(zhuǎn)化為以該量為變量的不等式求解.

12.【研發(fā)題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求角B；

(Ⅱ)求△ABC的面積.

【考查角度】本題考查正、余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

(Ⅰ)在△ADC中,利用余弦定理求∠ADC和∠ADB,在△ABD中利用正弦定理求角B；(Ⅱ)分別求△ABD和△ADC的面積,進(jìn)而得到△ABC的面積.

【解題分析】(Ⅰ)在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,

所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.

(3分)

由題意知0°

(6分)

(Ⅱ)在△ABD中,由(Ⅰ)知∠BAD=75°,

(12分)

13.【研發(fā)題】(本小題滿分12分)

菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠ABC=120°,M,N為邊AD,CD上兩點(diǎn),且∠MBN=90°.

(Ⅰ)設(shè)DM=x,DN=y,求x,y之間的關(guān)系式;

(Ⅱ)求MN的最小值.

【考查角度】本題考查余弦定理、勾股定理以及均值不等式的應(yīng)用.

(Ⅰ)在△ABM,△BCN,△DMN中，分別利用余弦定理得到BM2,BN2,MN2,然后在△MBN中利用勾股定理即可得到x,y滿足的關(guān)系式；(Ⅱ)利用均值不等式,把x,y的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為x+y的不等式,解不等式即可求出x+y的最小值.

【解題分析】(Ⅰ)因?yàn)椤螦BC=120°,則∠A=60°,

所以在△ABM中，由余弦定理得

BM2=4+(2-x)2-2×2(2-x)cos60°

=4+x2-2x.

(2分)

同理在△BCN和△DMN中，

BN2=4+y2-2y.

(3分)

MN2=x2+y2-2xycos120°=x2+y2+xy.

(4分)

又∠MBN=90°,則MN2=BM2+BN2,

所以(x+2)(y+2)=12或xy+2x+2y=8.

(6分)

(Ⅱ)由xy+2x+2y=8得

(8分)

(10分)

則MN2=(x+y)2-xy

=(x+y)2+2(x+y)-8

(11分)

(12分)