“說(shuō)題”引領(lǐng)教師專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)
——以2018年全國(guó)卷Ⅱ理科19題為例

貴州 袁小勇

相對(duì)于“說(shuō)課”，“說(shuō)題”還屬于一個(gè)新鮮的事物.“說(shuō)課”已經(jīng)形成了一個(gè)基本模式，但是“說(shuō)題”怎么說(shuō)，還是一個(gè)正在探索的問(wèn)題.教師“說(shuō)題”是一種類(lèi)似于“說(shuō)課”的教育教研展示和討論活動(dòng)，是“說(shuō)課”的延續(xù)和創(chuàng)新，是深層次備課后的展示.開(kāi)展“說(shuō)題”，其宗旨是促進(jìn)教師對(duì)試題的研究，從而把握高考命題的趨勢(shì)與方向，用以指導(dǎo)課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)的針對(duì)性和有效性，同時(shí)，促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)水平和自主學(xué)習(xí)能力的提升.作者認(rèn)為，“說(shuō)題”就是把命題立意、考綱要求、試題原型(在教材中的母題)、審題、分析、解答和試題變式的思維過(guò)程按一定規(guī)律及一定順序說(shuō)出來(lái).本文以2018年全國(guó)卷Ⅱ理科19題為例進(jìn)行“說(shuō)題”分析.

一、高考真題

設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)l與C交于A,B兩點(diǎn)，|AB|=8.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程.

二、考點(diǎn)分析與考綱要求

本題選自2018年全國(guó)卷Ⅱ理科第19題，考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)的方程、圓的方程、拋物線(xiàn)的定義、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.思想方面考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想；另外還涉及了抽象概括能力和運(yùn)算求解能力，解析幾何與平面幾何的交匯應(yīng)用，數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的考查，屬中等偏上難度題目.

考點(diǎn)分析考綱要求直線(xiàn)的方程掌握確定直線(xiàn)的幾何要素,掌握直線(xiàn)方程的三種形式圓的方程掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程拋物線(xiàn)的定義掌握拋物線(xiàn)的定義拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程掌握拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)掌握拋物線(xiàn)的幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

續(xù)表

三、教材原型

人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第二章圓錐曲線(xiàn)與方程中2.4.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第69頁(yè)的例4.斜率為1的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).

人教A版數(shù)學(xué)必修2第四章圓與方程中4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第120頁(yè)的例3.

已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)和點(diǎn)B(2,-2)，且圓心C在直線(xiàn)l:x-y+1=0上，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

本題源自于以上兩題的改編，本題第Ⅰ問(wèn)將例4中的條件和結(jié)論交換，第Ⅱ問(wèn)將例3中圓心C在直線(xiàn)l:x-y+1=0上改為圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切.

四、真題分析

波利亞在《怎樣解題》中將解決問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程分成四個(gè)階段——理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧，從而描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓，也組成了一個(gè)完整的解題教學(xué)系統(tǒng)，既體現(xiàn)常識(shí)性，又體現(xiàn)由常識(shí)上升為理論.所以解答問(wèn)題時(shí)，需要經(jīng)歷兩個(gè)關(guān)鍵過(guò)程，一是審題，二是解題.在審題時(shí)關(guān)鍵要抓住兩個(gè)“什么”，即“有什么”和“是什么”的問(wèn)題.對(duì)于本題，能找到哪些顯現(xiàn)的已知條件？已知條件中又隱含著哪些本質(zhì)關(guān)系？所以繪制以下審題思維導(dǎo)圖：

解題思維導(dǎo)圖：

解法展示：

(Ⅱ)第二問(wèn)同解法1.

五、真題變式

心理學(xué)研究表明，人的認(rèn)識(shí)總是由淺入深，由表及里，由具體到抽象，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，因此，我們對(duì)一個(gè)題進(jìn)行變式，就是對(duì)這個(gè)題更深入的研究，從而不斷提升教師的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng).本題我們可以從以下幾方面進(jìn)行變式:(1)改變拋物線(xiàn)方程的形式;(2)若直線(xiàn)AB不過(guò)焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)另一定點(diǎn)，求直線(xiàn)AB的方程；(3)改變?cè)O(shè)問(wèn)的方式，如第一問(wèn)可以變?yōu)榍蟆鰽OB的面積；第二問(wèn)可以變?yōu)樽C明以AF為直徑的圓與y軸相切或證明以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切；(4)將第二問(wèn)作變式，過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)交于一點(diǎn)P，證明點(diǎn)P的軌跡為一條直線(xiàn).

六、反思總結(jié)

經(jīng)過(guò)對(duì)題目的變式，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于著名的阿基米德三角形(拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦的兩端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形，這個(gè)三角形常被稱(chēng)為阿基米德三角形.)，當(dāng)弦AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，即為拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的問(wèn)題.