例談高中數學解三角形中的核心素養

江蘇 張朋舉

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：高中數學教學以發展學生數學學科素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.

所謂核心素養是育人價值的集中體現，是通過學習而逐漸形成的正確價值觀念,是能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品質和關鍵能力，是實現“立德樹人”目標的必要保障；而數學學科的核心素養是數學課程目標的集中體現，是學生在數學學習和應用中逐步形成的具有數學基本特征的數學思維品質與關鍵能力.它是高中數學課程的統領，是數學思想的核心.具體包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等6個方面的素養.它們彼此相對獨立卻又相互交融，是引導學生在數學學習過程中思考問題的方式、解決問題的方法以及能力等，是培養優秀人才的基礎.因此，數學核心素養的生成應和數學知識的獲取及應用結合起來.

三角形是最基本的幾何圖形.三角形中的數量關系在天文、地理、航海等領域中有著極其廣泛的應用.《普通高中數學課程標準(2017年版)》將“解三角形”安排在了主題三“幾何與代數”的“平面向量及其應用”中，更加凸顯了三角知識和數學核心素養之間的融合,使得運用三角知識解決實際問題成為發展數學素養的重要載體.通過對三角形邊角關系的探究，發現正弦定理和余弦定理，掌握并運用正弦定理和余弦定理解決一些與測量、幾何計算有關的實際問題，發展學生直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學抽象等核心素養.會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.

1.判斷三角形的個數，發展直觀想象

直觀想象是指借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決問題的素養.直觀想象是不同的思維方法或思維形式，是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，也是進行思路論證、數學推理、實現數學抽象的思維基礎.其中想象是在直觀基礎上，是直觀的延伸.數形結合是解決三角形問題，研究三角形中邊角的數量關系的重要數學思想，在解三角形的教學中，通過數形結合，判斷三角形的個數，可以很好地落實對學生的數學直觀想象的培養.

評析：在本例中，學生的最大困難就是想不到利用數形結合的思想解決問題.實質上解決本題，我們先在圖中固定了∠A，射線AB，線段AC，然后把a=2想象成以C為圓心，半徑為2的圓.從而把問題理解成“射線AB與圓C有幾個交點”.最后借助數量關系a=2>CD，且a>b確定解的個數.當然，借助數形結合，我們還可以得到一般性的結論：已知A，a，b，當a

2.有邏輯地思考問題，發展邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養.學生掌握邏輯推理的基本形式就是學會有邏輯地思考問題.有邏輯的思考問題就是用一定的方法、順序與步驟，對已有的數學信息運用數學邏輯推理的思考方式建構數學思維的能力.可以說，邏輯是學生打開未知數學世界的鑰匙，是由知識通向能力的橋梁.推理則是指引學生如何去深入思考的燈塔，更是用學到的有限知識去迎接未來無限挑戰的利器.解三角形的許多題目可以很好的發展學生的邏輯推理能力，進而提升思維效率.

3.探究運算思路、方法，發展數學運算

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.它既是解決數學問題的基本手段，也是學生學習數學的一種基本能力，運算能力的培養與學生素養相輔相成.當前高中數學教學，學生練習量很大，但是效果卻欠佳，究其原因是學生的運算能力不足，因此，在解三角形的教學中，教師可通過長度、面積、取值范圍等計算題，讓學生探究合理的運算思路和運算方法，提升學生的數學運算素養.

【例4】在△ABC中，已知BC=7，AC=8，AB=9，求AC邊上的中線長.

=4cos2B+4cosB-1，

4.測量三角實際問題，發展數學抽象

數學抽象是通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.抽象是數學的本質特征，數學的研究源于對現實世界的抽象.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征.會用數學的眼光觀察現實世界，具體來講就是會對現實世界進行數學抽象和直觀想象.抽象是數學教學中經常性、普遍性的思維活動，數學對象都是抽象思維的產物，抽象過程的關鍵是發現.在解三角形這部分內容中，探究正弦、余弦定理的發現就是一個數學抽象的過程，除此之外，解決一些關于測量的三角實際問題，也可以很好的發展學生的數學抽象素養.

評析：數學抽象指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象.在本例中，舍去A，B，C三處的景致、海拔、經度、緯度等非本質屬性，得到純粹的三個點，舍掉步行、乘纜車、速度等表征，直接抽象出線段AC，AB的長，這都屬于數學抽象.