數學建模核心素養在立體幾何考題中的滲透

廣東 李 虎

隨著時代發展，教育更關注人的全面發展，更關注隱藏在知識背后的能力和素質的培養，新的數學課程標準中以培養學生的六個方面核心素養展開，其中數學建模核心素養強調數學應用，指向學生的綜合能力和高階思維，學生在考試中遇到往往丟分嚴重.本文就數學建模能力在立體幾何考題中考查方法進行探究，以期指出學生的薄弱環節，指明今后培養的方向和路徑.

一、無法完成從實際問題向數學問題轉化的過程

題目：如圖所示是一款熱賣的小方凳，其正、側視圖如圖所示，如果凳腳是由底面為正方形的直棱柱經過切割后得到，當正方形邊長為2 cm時，則切面的面積為

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考情分析：如圖1，我們將凳子的一條腿的直觀圖畫出來，找到其正視圖和側視圖對應的60°角，這里是本題的難點，大部分學生無法把這個60°角做出來，于是就無法完成從實際問題到數學問題的轉化.因為學生在生活中可能沒有仔細觀察小方凳，甚至很多學生都沒有見過小方凳,無法正確地構建模型.

圖1

圖2

考后評講：在考后的評講過程中，學生仍無法弄懂，為了幫助學生觀察和思考，筆者還用一個近似正四棱柱的酸奶瓶子做了教具，如圖3，以幫助學生思考，從課后的情況來看，評講后學生仍無法將圖1和圖2之間如何聯系起來想清楚.

圖3

在評講過程中，筆者發現還有一個難點學生無法突破，就是圖2實際切割與圖1如何聯系起來.這個其實可以用面積射影定理來理解，把問題轉化為找圖2中切面與原正四棱柱底面的二面角問題，而二面角又可以轉換為法向量所成的角∠APC，進而轉化為棱PC與水平面所成的線面角，這樣圖1和圖2就聯系起來了.

進一步，如果EP不與水平線平行，凳腿將發生什么變化？

進一步引發學生思考，鼓勵學生回家繼續用用過的飲料瓶做實驗，體會角度變化，帶來的凳腿傾角的變化.

通過本題，學生無法正確建模的根源是學生對基本概念的理解不到位,這就要求平時教學中，要回歸定義、定理、公理本身.

二、變量選擇的合理性

(2014·浙江卷文·10)如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練，已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角).若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值為

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考情分析：思維的起點通常從問題開始，學生拿到此題后根據線面角的定義會做出如圖所示輔助線，這里就會出現分水嶺，有些同學選擇假設CH=x，有些會選擇BH=x(再討論H在B的左側或右側)，有些同學假設PH=x，還有同學考慮建立空間直角坐標系，利用空間向量來做.這些方法都可以，但在實踐中發現，假設PH=x是運算量最小的.那么，怎樣確定假設引入哪個量作為變元呢？通常，首先要看是誰的變化引起的一系列變化，抓主要矛盾，其次選擇的變元要能盡可能多的聯系已知與要求解的問題，最后選擇能直接反映動點運動狀態的量最好，間接量一般會帶來運算量的提升.這里，主要是P點高度的變化，引起的線面角的變化.

(2017·全國卷Ⅰ理·16)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D,E,F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________.

考情分析1：本題一系列的變化是由△ABC的變化引起，故可以直接設△ABC的邊長為x，這是比較自然的一種想法.然后將體積寫成x的函數關系式，從而轉變為函數求最值問題.就自然產生了下面的解法1.

考情分析2：認真觀察圖形會發現，如果以O到BC的距離為變量，仍可以確定圖形，此時正好在折疊后的圖形中可以聯系起體高與斜高的關系.這樣假設運算更簡潔，計算量會更小.就產生了下面的解法2.

三、回歸課本基本數學模型

這個結論學生基本都知道，但是深挖會發現，學生是一知半解.問題：(1)空間四面體是否一定有外接球？外接球唯一嗎？(2)此四面體可以看成是一個長方體切下的一個角，那么這個四面體的外接球與長方體的外接球為什么是同一個球？(3)正四面體可以在正方體中截得，可以通過求此正方體的體對角線來求得正四面體的外接球直徑,依據是什么呢？(4)過空間不共面的五點是否可以確定一個球呢？為什么？

在教學中，發現學生對以上問題模模糊糊，只是通過記憶記住了這個模型，在做題中不能靈活應用.比如我們編寫一個這樣的題目.

圖1

圖2

高考題中關于球的切接問題的考查是非常頻繁的，學生一定要吃透問題本質，在做題時才能如魚得水.

四、結語