一道圓錐曲線定點考題的探究與思考

四川 李祥春 何 棟

圓錐曲線綜合題是高考數學的壓軸題之一，該類問題一般立足基礎知識，以平面幾何性質和圓錐曲線的定義為切入點，重點考查數形結合思想及坐標法，也考查學生數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養，本文對2019年成都市“一診”圓錐曲線解答題的第二問進行深入剖析，并適度拓展和反思，可作為學生研究性學習或高中數學教學的重要素材.

一、考題呈現

證明直線BD過定點E，并求出點E的坐標.

二、試題解析

近年來，定值、定點問題在高考中頻頻亮相，是高考的一個熱點，其解法充分體現了解析幾何的基本思想：運用坐標法逐步將題目條件轉化為數學關系式，然后綜合運用代數、幾何知識化簡求值.解答此類問題要大膽設參，運算推理到最后，參數必消，定點、定值自然顯露.

三、結論拓展

1.一般化

根據上述解答發現，直線l:x=2恰為橢圓的準線，E恰為FH的中點，很容易將問題結論推廣，得到下述結論.

令y=0，

通過以上解答，一個自然想法是，上述結論的逆命題是否成立，筆者經探究得到下述結論.

所以直線AD平行于x軸.

2.類比

類比結論1、結論2即可證明，此處不再贅述.

橢圓、雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，一個更一般的想法是，類比橢圓、雙曲線，上述結論對拋物線還成立嗎?進一步探究得到如下結論.

四、追根溯源

不難發現，上述結論與人教A版教材選修2-1P70例5如出一轍.

過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

本例為教材例題，難度不大，但內涵豐富.解答后，我們若能進一步提出一些問題.如本題，可以從結論入手，繼續向下追問；可以反思題目的條件，尋求問題的本源；還可以進行更深層次、更多元的思考：還有其他的證明方法嗎？題目的結論反過來了嗎？本例的背景若換成雙曲線或者橢圓結論還成立嗎？有了這樣的深層次思考，上述結論不難得到.這些有意義、有價值的開放性思考，有助于培養學生自主探究的意識.作為教師，我們應該更多地去引導學生正確地剖析問題，立足教材，找出問題的本源，反復思量，反復推敲.教師只有在教與學的過程中，不斷思考反思，幫助學生理解問題的本質，探尋解決問題的方法，才能不斷提升學生的思維品質.

五、統一結論

結論7：設圓錐曲線的焦點為F，相應準線l與對稱軸的交點為H,線段FH的中點為E,過圓錐曲線焦點F的直線(不與對稱軸重合)交圓錐曲線于A,B兩點，過點A作AD⊥l,垂足為D，則直線BD恒過E點.

結論8：設圓錐曲線的焦點為F，相應準線l與對稱軸的交點為H,線段FH的中點為E,過圓錐曲線焦點F的直線(不與對稱軸重合)交圓錐曲線于A,B兩點，直線BE交圓錐曲線的準線于點D，則直線AD平行于圓錐曲線的對稱軸.

六、考題思考