例說三角形面積最值的思維視角

廣東 閆 偉

三角形面積的最值問題一直是各類考試中的熱點和難點，因其內涵豐富，靈活多變，常令學生望而生畏.本文擬從這類問題的思維視角作一些舉例說明，以資參考.

三角形面積的最值問題一直活躍在各類考試中，因其解法靈活，思維跨度大，故常常令學生“望題興嘆”.該類試題往往聚焦三角形的邊和角這兩個基本元素，綜合考查正、余弦定理及平面幾何的性質等知識點，同時滲透函數、不等式、平面向量等內容，突出考查學生的數學運算、邏輯推理等核心素養.筆者經調研發現，盡管多數學生對三角形面積最值問題的基本思路和方法較熟悉，但是大多都依賴于復雜的運算和推理過程，即使答案正確也耗時耗力，無法高效解題.本文擬從這類問題的思維視角進行舉例說明，給出思考的方向和可操作的方法，以期給大家啟發.

一、基于均值不等式的視角

已知一角及其對邊，結合余弦定理直接利用均值不等式求已知角兩夾邊乘積的取值范圍，進而確定三角形面積的最值.

評注:本題先借助正弦定理求出∠A，接著用余弦定理表示三邊的等量關系，再利用均值不等式求bc的取值范圍，進而求得面積最大值，試題難度不大，解題思路較為自然.

二、基于函數的視角

求一個量的最值常用的方法是將某個變量轉化為函數的自變量來處理，于是先將三角形面積表示成某個角或者某一邊的函數，再借助函數的性質來求面積的最值.

評注：根據已知條件，聯想到正弦定理，結合恒等變換將三角形面積表示成某個角的三角函數形式，即y=Asin(ωx+φ)+k形式，再利用三角函數性質求最大值，思路清晰自然，解法較為常規.

評注：本題的條件相對簡潔，都是邊與邊之間的關系，而正、余弦是處理三角形邊、角問題的重要入口，從而自然而然地聯想到構造以邊為自變量的函數來表示三角形的面積，再利用函數的性質可快速有效地解決最值，體現了函數思想的妙用.

三、基于坐標運算的視角

在三角形面積的最值問題求解中，通過建立平面直角坐標系，把三角形中的邊角條件“坐標化”和“解析化”，從坐標運算的角度來解題，可以避免繁雜的邏輯推理過程.

評注:因題中條件過于簡潔，僅已知一邊和兩角的正切值乘積，如果純粹從三角形中邊角關系結合正余弦定理將很難入手，相反通過建立平面直角坐標系進行轉化能快速鎖定C點的運動軌跡，從軌跡圖形中易看出三角形的高即C點縱坐標絕對值的大小，借助坐標運算使得解題過程直觀、簡潔，極大地降低了試題難度.

四、基于平面向量的視角

平面向量具有“數”和“形”的雙重性，是溝通幾何、代數和三角的重要工具，借助平面向量基本定理建立三角形中邊與邊之間的等量關系式再結合均值不等式確定三角形兩邊乘積的最值，進而確定面積的最值.

五、基于軌跡的視角

與三角形面積有關的最值問題中條件蘊含的圖形往往含有運動的點，解決此類問題的關鍵是要構建出動點的軌跡，借助軌跡思想求解三角形面積最值往往能夠達到出奇制勝，化繁為簡的效果.

【例6】△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB，且b=2，則S△ABC的最大值為________.

評注：本題以“已知一邊及其對角”模型為載體求三角形面積的最大值，考查正、余弦定理和面積公式等知識，解題思路寬泛，可以利用均值不等式或關于角的三角函數來求解，本解法的優點在于根據角B及對邊確定B點的軌跡是圓上的一段優弧，揭示了問題的本質，使得解題過程更加簡潔明了.

評注：本題的背景是阿氏圓：設A,B為兩定點，動點P滿足PA=tPB，當t≠1時，動點P的軌跡是阿氏圓，根據阿氏圓的定義確定A點的軌跡方程，從而將面積最大值問題轉化到求A點到x軸距離的最大值問題；若借助其他解法，都不如軌跡法運算量少，簡單直觀.

評注：本題若用常規解法，比較復雜，要借助半角公式和海倫公式，運算相當繁瑣，相反先借助橢圓定義求B點的軌跡，再結合橢圓的特征確定三角形面積取最大值的位置，巧妙地避開復雜的代數運算，起到四兩撥千斤的效果.

六、基于平面幾何的視角

解三角形有關的問題本質上是平面幾何問題，借助平面幾何知識結合幾何圖形的特征將問題進行轉化，可以順利求解三角形面積最值，實現高效解題.

【例9】在△ABC中，∠BAC=60°，點D在線段BC上，且BC=3BD，AD=2，則S△ABC的最大值為________.

評注:從本質上看解三角形也是平面幾何的知識，像本題這一類動態三角形問題都有著平面幾何背景，通過平面幾何中相似三角形知識將原問題轉化為一個基本問題：已知三角形中的一角及其對邊，求面積的最大值，巧用外接圓來解三角形面積，體現了化歸與轉化的思想，讓學生感受到任何一道難題都可以轉化為我們熟悉的問題.

七、基于特殊結論的視角

先給出一個特殊結論：在四邊形ABCD中，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD，當且僅當四邊形A,B,C,D四點共圓時，等號成立.該結論是平面幾何中的重要結論——廣義托勒密定理.

【例10】已知△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，D為△ABC外一點，且CD=AD=2，則△BCD面積的最大值為________.

評注：本題借助平面幾何知識，在底邊確定的情形下，一定有底邊上的高不大于底邊上的中線，故在求高的最大值時轉化到求中線的最大值，再結合廣義托勒密定理可順利求解中線的最大值，進而求得面積的最大值，作為小題，妙借結論解題不失為一種高效的解題方法.