一道關(guān)于數(shù)列求和的高考試題的多向探究及推廣

天津 高成龍

數(shù)列求和問(wèn)題一直是高考中的重要內(nèi)容之一，文章運(yùn)用錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)求和法、面積法、函數(shù)法對(duì)2017年天津理科第18題進(jìn)行多向探究，層層遞進(jìn)，不斷揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，充分挖掘題目的功能，并將試題結(jié)論推廣至一般情形，得到了(an+b)·qn型數(shù)列求和的三個(gè)模型：裂項(xiàng)求和模型、待定系數(shù)模型、函數(shù)模型，揭示了此類型數(shù)列求和的本質(zhì)和規(guī)律，這有助于學(xué)生對(duì)此類數(shù)列求和的深度認(rèn)識(shí)，有助于培養(yǎng)和提升學(xué)生的探究能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，并以此來(lái)促進(jìn)教學(xué).

一、試題及分析

題目已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12,b3=a4-2a1，S11=11b4.

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*).

點(diǎn)評(píng)：第(Ⅰ)問(wèn)主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的概念；第(Ⅱ)問(wèn)主要考查(an+b)·qn型數(shù)列的求和問(wèn)題.(an+b)·qn型數(shù)列求和問(wèn)題知識(shí)綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求較高，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是如何將無(wú)法直接求和的數(shù)列利用錯(cuò)位相減法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的求和問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)合并同類項(xiàng)對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)求得結(jié)果.方法通俗易懂，但是對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求比較高，尤其是最終結(jié)果的化簡(jiǎn)給求解帶來(lái)很大的障礙.下面從不同的思路出發(fā)對(duì)第(Ⅱ)問(wèn)進(jìn)行方法上的探究和模型歸納.

二、解法探究

解法1：錯(cuò)位相減法

由(Ⅰ)可得a2nb2n-1=(6n-2)×22n-1=(3n-1)·4n，

Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n，

4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1，

解法2：裂項(xiàng)求和法

設(shè)cn=(3n-1)·4n，觀察cn通項(xiàng)的特點(diǎn)，設(shè)f(n)=(An+B)·4n，則f(n+1)=(An+A+B)·4n+1，由cn=f(n+1)-f(n)得，4n(3An+4A+3B)=4n(3n-1)，

方法點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用裂項(xiàng)求和法去研究(an+b)·qn型數(shù)列的前n項(xiàng)和，把數(shù)列的無(wú)限項(xiàng)求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)求和，計(jì)算量小，方法通俗易懂，體現(xiàn)了抽象問(wèn)題具體化，數(shù)列問(wèn)題方程化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

解法3：面積法

于是由該折線與直線y=0，x=41,x=4n+1所圍成的區(qū)域面積恰好為T(mén)n.

方法點(diǎn)評(píng)：該方法根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)構(gòu)造了多邊形，然后利用等面積思想將數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何圖形的面積問(wèn)題，借助“形”的直觀更好地理解了“數(shù)”的抽象，同時(shí)從“形”的角度來(lái)研究“數(shù)”有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解等比差數(shù)列求和的幾何意義，突出了代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀之間的融合，通過(guò)形與數(shù)的結(jié)合，能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解.

解法4：函數(shù)法

方法點(diǎn)評(píng)：該法從函數(shù)與導(dǎo)數(shù)視角給出了等比差數(shù)列的前n項(xiàng)和，體現(xiàn)了數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)模型去研究數(shù)列也是我們常用的方法之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017版)指出，運(yùn)用函數(shù)方法研究數(shù)列可以讓學(xué)生感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.

三、解法推廣

1.等比差數(shù)列的定義

我們把形如an=(an+b)·qn的數(shù)列稱為等比差數(shù)列，其中a,q為非零實(shí)數(shù)且q≠1.

2.等比差數(shù)列求和模型探究

眾所周知，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和模型為Sn=An2+Bn,其中A,B是待定系數(shù)，可以利用a1,a2求得；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=A-A·qn，其中A為待定系數(shù)，可以利用a1求得.類比等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和模型，等比差數(shù)列的前n項(xiàng)和也有求和模型，下面給出該類數(shù)列前n項(xiàng)和模型及其證明過(guò)程.

模型1(裂項(xiàng)求和模型)若數(shù)列{an}滿足an=(an+b)·qn(q≠1)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和可以利用裂項(xiàng)求和法求得，且an=f(n+1)-f(n)，其中f(n)=(An+B)·qn，A,B可以由a,b唯一確定.

證明：設(shè)f(n)=(An+B)·qn，則f(n+1)=(An+A+B)·qn+1，

f(n+1)-f(n)=(Aqn+qA+qB-An-B)·qn=[(Aq-A)n+qA+qB-B]·qn=(an+b)·qn.

需要說(shuō)明的是模型1中A,B的形式比較復(fù)雜，不要求學(xué)生記憶，學(xué)生只需明白其中的原理，然后直接解方程組即可獲得.

模型2(待定系數(shù)模型)若數(shù)列{an}滿足an=(an+b)·qn(q≠1)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=A+qn(Bn-A)，其中A,B為待定系數(shù)，可以利用a1,a2求得.

證明：由模型1，an=f(n+1)-f(n)，其中f(n)=(un+v)qn，u,v可以由a1,a2唯一確定，所以

Sn=a1+a2+a3+…+an=f(n+1)-f(1)=(un+u+v)qn+1-(u+v)q=-(uq+vq)+qn(uqn+uq+vq).

令-(uq+vq)=A,uq=B便有Sn=A+qn(Bn-A)，其中A,B為待定系數(shù)，可以利用a1,a2求得.

所以Tn=aqf′(q)+bf(q).

四、等比差數(shù)列求和模型在高考中的應(yīng)用

1.近五年高考中的“等比差數(shù)列”統(tǒng)計(jì)

“等比差數(shù)列”是高考中的重要內(nèi)容，對(duì)2015-2019年高考數(shù)學(xué)試卷中等比差數(shù)列的題型、分值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，具體如下表所示.

年份試卷科別題型題號(hào)分值考點(diǎn)2015浙江卷天津卷廣東卷山東卷文解答題1715等比差數(shù)列求和文解答題1813等比差數(shù)列求和理解答題1813等比差數(shù)列求和文解答題1914等比差數(shù)列通項(xiàng)文解答題1912等比差數(shù)列求和理解答題1812等比差數(shù)列求和2016山東卷文解答題1912等比差數(shù)列求和理解答題1812等比差數(shù)列求和2017山東卷天津卷文解答題1912等比差數(shù)列求和理解答題1912等比差數(shù)列求和文解答題1813等比差數(shù)列求和理解答題1813等比差數(shù)列求和2019天津卷理解答題1914等比差數(shù)列求和

2.等比差數(shù)列求和模型應(yīng)用

下面以兩道高考題為例來(lái)說(shuō)明運(yùn)用等比差數(shù)列求和模型在解決該類數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì).

例1(2017·山東卷文·19)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=6,a1a2=a3.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解法1：裂項(xiàng)求和模型

(Ⅰ)an=2n(過(guò)程略).

解法2：待定系數(shù)模型

解法3：函數(shù)模型

例2(2014·全國(guó)卷Ⅰ文·17)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

解法1：裂項(xiàng)求和模型

解法2：待定系數(shù)模型

解法3：函數(shù)模型

五、備考建議

運(yùn)用模型1和模型2求解(an+b)·qn型數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，都將該類數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組的求解問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)列問(wèn)題模型化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的數(shù)學(xué)思想；運(yùn)用模型3求解(an+b)·qn型數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，體現(xiàn)了數(shù)列是一種特殊的函數(shù).因此在數(shù)列教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)的眼光看待數(shù)列，用研究函數(shù)的方法去研究數(shù)列，運(yùn)用函數(shù)方法研究數(shù)列可以讓學(xué)生感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.

等比差數(shù)列前n項(xiàng)和的三個(gè)模型與錯(cuò)位相減法相比較，顯然錯(cuò)位相減法更接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，但是錯(cuò)位相減法計(jì)算量大，尤其是對(duì)最后的結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，學(xué)生沒(méi)有一個(gè)明確的目標(biāo)去靠近，導(dǎo)致形式多樣甚至化簡(jiǎn)錯(cuò)誤.而模型2恰好為學(xué)生解決該類數(shù)列求和問(wèn)題提供了方向和目標(biāo)，即等比差數(shù)列的前n項(xiàng)和結(jié)構(gòu)就是A+qn(Bn-A).