品真題 提素養
——一道高考題的探究與思考

重慶 李海堂

2019年高考數學全國卷Ⅱ理科第21題秉承熟而不俗，俗中有變，變中有新的風格，注重數學本質和通性通法，彰顯了從能力立意向素養導向的過渡，為學生提供了多樣化的選擇，考查了學生的數學素養及學習潛能，是一道內涵豐富、解法多樣的好題，為高中數學教學起到了良好的導向作用，值得我們去探究和挖掘.下面是筆者對這道題的解法探究、題源尋求，以及從這道題中獲得的教學思考.

1 試題呈現

(Ⅰ)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(Ⅱ)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.

(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

本題是在圓錐曲線和基本不等式等知識的交匯處命制，考查曲線軌跡方程、直線與橢圓的位置關系、基本不等式等基礎知識及求函數最值等基本方法，在解題過程中，涉及函數與方程、數形結合、轉化與化歸等基本數學思想，同時考查了學生直觀想象、邏輯推理、數學運算、數據分析等數學核心素養.突出能力立意，彰顯數學思想方法.題目綜合性較強，思維能力要求較高，要完整順利解答該題，學生必須要有較強的運算能力、推理能力和探究能力.

2 解法探究

下面重點探討第(Ⅱ)的(ⅰ)問，筆者探究了如下幾種解題思路：

思路1：此題如果找到P，Q和G的坐標間的關系，進而求出PQ，PG的斜率，問題就很容易解決.由于G點的運動是隨著P，Q的運動而運動，故可設直線PQ的斜率為k，則P，Q和G的坐標均可以由k表示.

設直線PQ的方程為y=kx(k>0)

所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形.

反思：解析幾何的本質是用代數的方法研究幾何問題.思路1很好地體現了這一本質，即用直線PQ的斜率k表示P，Q及G的坐標.本思路中代數運算是重要環節，但不是死算、硬算，而是有觀察、有方法的運算.該思路有兩個關鍵的代數運算：一是求點P，Q及G的坐標，二是求直線PG的斜率.求P點的坐標用到了整體換元技巧，求G點的坐標用到了韋達定理，避免了用求根公式求根，這樣可讓計算變得簡單一些.可見在平時的學習中要注意適度進行數學運算(包括運算技巧)的訓練，不斷提升運算能力，逐步形成良好的數學素養.

反思：直線與圓錐曲線位置關系中的運動變化，一般點或直線運動變化是根源，如果能很好地把握了這個根源，選擇合適的點或直線入手，就能簡化運算過程，快速解答.此思路避開了解決圓錐曲線問題的“設直線、聯立方程組、消元、根與系數的關系等”常規的解題方法.解題時從點入手，充分抓住這些點的坐標滿足相應的方程的特點，尋找題目中相關點的幾何關系，用到了“設而不求，整體代換”的解題策略，也用到了解析幾何中常見的方法——點差法.點差法常和直線的斜率相聯系.

反思：由上面解題過程不難看出，在解析幾何背景下，通過橢圓的參數方程輕松實現了點P，G的坐標假設，這樣把幾何問題代數化，而在代數形式下的PG，PQ和QG的斜率又實現了三角函數化，三角函數在解決求值時又有優勢，簡化了煩瑣的運算，大大提升了解題的效率.

羅列了這么多的敘事類型，其實整合一下，可以發現能夠歸為三大類。因為在大的范圍里，這么多類型的敘事方式其實是有交集的。比如喜劇類型和愛情類類型，動作類型與犯罪類型，也通常都會組合出現。

反思：平面向量是數學的工具，是聯系三角函數、解析幾何、立體幾何等知識的媒介，是溝通代數與幾何的橋梁，是通過“數”的運算處理“形”的問題的重要方法.體現了數形結合思想的深入理解和靈活運用以及利用向量方法解決圓錐曲線問題的意識和素養.

學生解題時思維往往是膚淺的、盲目的，教師要引導學生反思解決問題的關鍵——運用函數、向量、化歸思想，建立關系.以上解法隨著思考的深入，運算量相應減少.思路1、思路2是學生容易想到的方法，可以說是通法；思路3挖掘問題的條件是用三角換元，思路4用向量的思想求解是妙法.通過反思有利于學生形成“立足通法、善用妙法、追求本質解法”的意識.

3 題源尋求

【背景1】(人教A版選修2-1第41頁例3)

(Ⅰ)當直線PA平分線段MN時，求k的值；

(Ⅱ)當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

(Ⅲ)對任意k>0，求證：PA⊥PB.

【背景3】(2012·湖北卷理·21)設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標；

(Ⅱ)過原點且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H.是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由.

2019年全國卷Ⅱ理科第21題第一問與背景1相似，而21題的第二問的第一小問與背景2的第三問、背景3的第二問去掉了“是否存在”的外包裝后驚人的相似.由此可見這是一道具有豐富內涵的經典試題，考查學生的綜合能力.此題源于教材而高于教材，起點低而落點不低.在強調高考改革的今天，通過改編、創新等手段賦予高考典型試題新的生命，成為高考命題的一種新走向.

4 變式拓展

從數學發展的歷程來看，數學的發展離不開自身的拓展與應用，在解決數學問題后數學家們總是試圖將其進一步拓展.教師可以順勢引導學生思考，將此題拓展到更一般的問題，經歷從特殊到一般、從具體到抽象逐步深入的過程，以便培養學生的數學素養.

如果學生在平時做圓錐曲線的練習中，多總結出一些結論并記住它，那么在高考考場中就能胸有成竹，快速而又準確地求出答案.

5 結束語