聚焦核心素養 深化解法探究
——以2019年全國卷Ⅱ文科數學解析幾何試題為例

甘肅 張 科 陳永慶

歷年來，解析幾何題都是高考數學中的重點和難點，深受高中一線數學教師的青睞，筆者借鑒研究解析幾何經典問題的策略和經驗，以2019年高考全國卷Ⅱ文科數學第20題為例，從試題剖析、多解探究以及核心素養等方面對解析幾何備考啟示進行分析和探究，希望能夠為研究全國卷Ⅱ的讀者起到拋磚引玉的作用.

1.試題再現

(Ⅰ)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率;

(Ⅱ)如果存在點P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.

2.考題剖析

本題考查橢圓離心率的求法、簡單幾何性質及焦點三角形面積，也考查了數形結合思想、化歸與轉化思想以及方程思想，同時還考查了邏輯推理、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養.試題的重點是題設中幾何條件的代數轉化，難點是選擇恰當的化歸方式優化運算.

3.多視角探究

第(Ⅰ)問：

視角1：解析幾何視角

又因為b2=a2-c2，化簡得 4a4-8a2c2+c4=0，

【評析】此解法使用數形結合的代數方法——坐標法來解決問題，有助于學生體會數形結合的數學思想方法.

視角2：平面幾何視角

解法2：連接PF1,由△POF2為等邊三角形知

在△F1PF2中, ∠F1PF2=90°，

【評析】此解法運用特殊三角形的性質并結合橢圓的第一定義使得問題得以解決，培養學生數學運算和邏輯推理的數學核心素養.

視角3：解三角形視角

解法5：根據題意知|PF2|=c,|PF1|=2a-c，∠F1PF2=90°,由勾股定理得

c2+(2a-c)2=(2c)2，即2a2-2ac=c2，

兩邊同時除以a2有e2+2e-2=0，

補鈣似乎是孕媽媽們都具有的觀念，但是你真的對補鈣這件事很清楚嗎？你的認識是正確的嗎？為此我們特別采訪了營養科主任朱桂琦，請他來回答孕媽媽們對補鈣的疑問。

【評析】以上三種解法應用解三角形的理論結合正弦定理、余弦定理、勾股定理及橢圓的定義等知識，體現了數學知識在解題中的重要性，培養學生對平面幾何知識的運用能力和直觀想象的核心素養.

第(Ⅱ)問：

視角1：解析幾何視角

【評析】此解法利用解析幾何的代數方法——坐標法，屬于通性通法，有助于培養學生的邏輯推理、數學運算的核心素養.

視角2：平面幾何視角

解法2：設PF1=l，則PF2=2a-l，由

得4c2=2l(l-2a)+4a2=-2×32+4a2, 即

a2-c2=b2=16，故b=4.

【評析】本解法充分利用了平面幾何的初等知識， 如三角形面積公式和勾股定理，并且用到了基本不等式，培養學生直觀想象和數學運算的核心素養.

視角3：三角函數視角

解法3：因為△F1PF2的面積等于16，

存在點P，使得PF1⊥PF2，只需最大角等于90° ，

視角4：方程視角

解法4：如圖，設|PF1|=r1,|PF2|=r2，

由△F1PF2的面積等于16，

得r1·r2=32，因為r1+r2=2a，

所以r1,r2是方程x2-2ax+32=0 的兩根，

【評析】此解法從方程的角度入手，利用一元二次方程根與系數的關系以及根的判別式形成不等關系式，進而求出取值范圍，使學生學會知識的融合應用，達到深度學習的目的.

4.數學學科核心素養下解析幾何的備考啟示

4.1抓實課本基礎，追溯知識本質，凸顯學科素養

教材是課程標準的重要載體，是教與學的重要資源.歷年的高考試題都蘊含著課本中重要的數學思想方法和思想精髓.所以在高三復習階段要高度重視對教材中例題和習題中所深藏的知識本質及其中的解答通法的潛心研究，追溯知識本質.

4.2深探高考真題，重視通性通法，強化運算能力

在解析幾何備考中，要重視高考試題的教學功能，體會其蘊藏知識的本質和通性通法，把握知識內涵和外延，在講解解析幾何試題時，要給學生充分的探索時間和空間，合理引導學生經歷文字語言、圖形語言和符號語言多重轉換，滲透轉化思想，培養學生數據處理能力.引導學生深層次思考，親身經歷和體驗運算過程，幫助學生突破計算難點，提升學生在計算方面的信心，落實數學運算素養的培養.

4.3加強解題反思，倡導理性思維，培養自主創新

平面解析幾何的經典問題往往能挖掘出多個優美統一的結論.教師在解題后要引導學生深入探究試題背后的知識背景，挖掘問題的本質，開展基于建構主義學習理論的類比、猜想、探究教學，引導學生針對平面解析幾何性質建立不同情形的數學模型，并且合理地、嚴密地推理，進而得出更多豐富多彩的結論，落實對學生的直觀想象、邏輯推理、數學建模、數學抽象等素養的培養.

4.4重視例題變式，發揮題目功能，踐行深度學習

在高考備考中，深層次挖掘高考真題的教學價值，教師通過一題多解、一題多變等手段調動學生深度學習的積極性，提升學生的思維廣度和深度，落實學生的邏輯推理素養和數學抽象素養，進而培養學生深度學習的能力.

4.5優化解題過程，提升解題策略，學會歸納類比