一道四川初賽試題的探源與拓展

四川 蘇文玉

一、試題呈現

2016年四川高中數學競賽初賽15題如下：

已知拋物線y2=2px過定點C(1,2)，在拋物線上任取不同于點C的一點A，直線AC與直線y=x+3交于點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點B.

(1)求證：直線AB過定點；

(2)求△ABC面積的最小值.

【解析】(1)由拋物線y2=2px過定點C(1,2)，可得拋物線方程為y2=4x.設直線AB的方程為x=my+a，與拋物線方程聯立得y2-4my-4a=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=4m,y1y2=-4a.

P點坐標為(y2-3,y2)，因為AP過定點C，

化簡得y1y2-2(y1+y2)+12=0，

將y1+y2=4m,y1y2=-4a代入上式，得a=-2m+3.

因此式對任意y1≠2都成立，因此直線x=my+a過定點Q(3,2).

(2)由(1)可設直線AB的方程為x=my-2m+3，

與拋物線方程聯立得y2-4my+8m-12=0.則y1+y2=4m,y1y2=8m-12.

【評析】本題是一道初賽試題，主要考查拋物線的標準方程與幾何性質、直線方程、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合、化歸與轉化、特殊與一般、分類與整合等數學思想.

二、試題探源

本題以拋物線為背景，通過共線、交點、平移得到的AB直線恒過定點，不禁讓筆者思考如下幾個問題：

1.本題中的點C和直線y=x+3是任意的嗎？

2.本題的逆命題成立嗎？或者變換本題的條件和結論，命題依然成立嗎？

3.本題有更一般的結論嗎?能夠推廣到其他圓錐曲線嗎？

本著這樣的研究思路，筆者在教材例題和歷年高考試題中找到了本題的原型.

【探源1】(2001·全國卷理·19)設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A，B兩點.點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.證明直線AC經過原點O.

【探源2】(人教A版選修2-1第70頁例5)過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點,通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D,求證:直線DB平行于拋物線的對稱軸.

從高考試題和教材上的例題可以看出，當定直線l為準線時，拋物線上的定點為坐標原點，則可得直線AB恒過焦點，同樣，當AB恒過焦點時，可以證明A，O，C三點共線，可以證明BD和對稱軸平行，還可以證明AO與過點B平行于對稱軸的直線交點在定直線準線上.

那么定直線l和定點C是什么關系呢，經過研究發現，若拋物線在定點C處的切線與定直線l平行，則可得到下面更一般的結論.

三、拓展與探究

命題1：已知拋物線y2=2px(p>0)，點C為拋物線上任意點，設過點C的切線為l，已知定直線l′與l平行，在l′上任取點P，設PC與拋物線交于點A,過點P作對稱軸的平行線交拋物線于點B,則直線AB過定點.

設直線AB:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2)，

同樣，我們可以得到下面的命題2—命題4.

命題2：已知拋物線y2=2px(p>0)，點C為拋物線上任意點，設過點C的切線為l，已知定直線l′與l平行，在拋物線上任取點A，設AC與l′交于點P,過P作對稱軸的平行線交拋物線于點B,則直線AB過定點.

備注：命題2—命題4實際上是命題1變換條件和結論產生的新命題，證明方法與命題1一致，從結論來說，命題1—4分別從定點、定線和三點共線的角度對問題進行了揭示.值得思考的是，拋物線具有這樣的性質，那么橢圓和雙曲線是否也有類似的性質呢？由于與定直線平行的直線只有一條是與拋物線相切的，而橢圓和雙曲線中，會有兩條相切的直線與定直線平行，則會產生兩個切點，那么又會有怎么樣的結論呢？筆者對此問題進行了探究，得到了下面的一些結論.

為了證明命題5是正確的，先證明下面一個引理.

由引理的證明可知|OM||ON|=r2，且M在射線ON上.一般地，可以得到如下推論：

證明：由引理知AB恒過定點，

下面證明命題5.

實際上，在橢圓中，容易證明M在過原點的直線C1C2上.

同樣可以通過變換條件和結論給出下列命題6—8，證明留給讀者.