厘清概念與性質 準確把握解題方向

廣東 林國紅

根據《普通高中數學課程標準(2017年版)》的內容可知：數學教育應幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.通過學習，經歷數學知識的發生、發展，體驗研究數學的方法，感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值，促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展，培養一定的解題技能.其中，基礎知識不外是定義、定理、公式、性質等，往往一個概念產生之后，隨之便有若干性質.在解題過程中，如何理解概念，巧用性質，是一個值得思考的問題.很多學生不能很好地理解概念和性質，從而造成解題失誤.

下面以奇函數為例，談談厘清概念與性質在解題中的重要性，供大家參考.

一、奇函數的定義及其性質

一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數.

基于奇函數的定義，可以得到以下性質：

1.奇函數的定義域關于原點(0,0)對稱.

2.對于定義域內的一個x0，總有f(-x0)=-f(x0)成立，特別地，當f(0)有意義時，有f(0)=0，即函數f(x)過原點.

3.奇函數的圖象關于原點(0,0)成中心對稱，反之，函數圖象關于原點(0,0)成中心對稱的函數一定是奇函數.

二、奇函數中常見錯誤問題梳理

1.錯用性質f(0)=0

錯因分析如果函數的定義域是包含0的奇函數，則能得到f(0)=0，但滿足f(0)=0的函數不一定是奇函數，而且根據函數f(x)的解析式，并不能肯定當x=0時，函數f(x)有意義.因此，本題利用f(0)=0來解答是不正確的.

所以1-a2=0，解得a=±1.

錯解由f(x)為奇函數，得f(0)=0，即lga=0，所以a=1，

所以不存在實數a使函數f(x)是奇函數.

錯因分析根據函數f(x)的解析式，我們無法確定函數f(x)在0處是否有定義，所以不能應用f(0)=0解題.

所以當a=-1時，函數f(x)是奇函數.

【例3】若函數f(x)=ax3+(a-1)x2+a(a-1)是奇函數，求實數a的值.

錯解因為f(x)是奇函數，所以f(0)=a(a-1)=0，解得a=0或a=1.

錯因分析當f(x)在0處有定義，且f(x)為奇函數時，則有f(0)=0，但f(0)=0并不能說明f(x)為奇函數，即當f(x)在0處有定義時，f(0)=0只是f(x)為奇函數的必要非充分條件，所以用f(0)=0求出a的值后必須進行檢驗，這種檢驗是解題過程中不可缺少的步驟.

正解因為f(x)是奇函數，所以f(0)=a(a-1)=0，解得a=0或a=1，

當a=0時，f(x)=-x2，f(x)不是奇函數，所以a≠0；

當a=1時，f(x)=x3，f(x)是奇函數，所以a=1.

評注當能確定函數在0處有定義時，f(0)=0只是f(x)為奇函數的必要非充分條件，用其求出參數的值后，還要驗證這個值是否是函數為奇函數的充分條件；當不能確定函數在0處是否有定義時，f(0)=0是f(x)為奇函數的既不充分也不必要條件，這時只能用奇函數的定義或其他方法去求參數的值.

2.求函數解析式漏掉f(0)=0

【例4】已知定義在R上的奇函數f(x)，當x>0時，f(x)=-x2+2x.求函數f(x)的解析式.

錯解當x<0時，-x>0，因此f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x，而f(x)為奇函數，故f(x)=-f(-x)=x2+2x，

錯因分析這種錯誤是學生做題時最為常見的錯誤，容易忽略在奇函數中，f(x)在0處有定義時，則有f(0)=0.

正解當x<0時，-x>0，因此f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x，而f(x)為奇函數，故f(x)=-f(-x)=x2+2x.

又因為f(x)是R上的奇函數，從而f(0)=0.

3.忽視函數的定義域

三、合理應用奇函數的定義與性質，精準快速解題

解由題意可知f(x)的定義域為{x|x≠0}，且f(x)是奇函數，故f(-1)+f(1)=0，又f(1)=0，從而f(-1)=0，所以a=1.

所以不等式f(x)<0的解集為{x|-11}.

四、結語

數學概念是構建數學理論大廈的基石，是推導數學定理、公式及性質的邏輯基礎，而性質是概念的延伸，兩者密不可分.在數學解題過程中，很多出錯的原因是對概念與性質的理解不夠透徹，又或者是思考不全面等，從而對概念與性質的轉化應用不靈活.所以在平時的學習中，不能只強調解題的方法與技巧，而忽略基本概念與性質，要深刻理解概念與性質，以及兩者的聯系，才能找準解題的思路與方向，提高解題能力.

五、練習鞏固

最后提供三道試題作為練習，以加深體會奇函數的定義與性質在解題中的應用.

1.若函數f(x) = ex+ae-x(x∈R)是奇函數，求實數a的值.