研究命題特點(diǎn) 開展精準(zhǔn)備考
——函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象與性質(zhì)問題的解題策略和教學(xué)啟示

江蘇 郝文華

通過分析近年來高考全國卷中三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象與性質(zhì)問題的常見類型和命題特點(diǎn)，并結(jié)合學(xué)生解決此類問題時思維受阻的原因，提出了解決三角函數(shù)問題的一些方法和規(guī)律：注重解題的通性通法，注重“整體代換、特殊與一般”的思想方法，突出函數(shù)的周期性，注重解題的逆向思維訓(xùn)練及過程性體現(xiàn).以期對高考三角函數(shù)相關(guān)問題的復(fù)習(xí)提供些許啟發(fā)與參考.

三角函數(shù)作為高中階段學(xué)習(xí)的一個重要周期性函數(shù)模型，具有其獨(dú)特的定義和性質(zhì)，也是高考試卷中常見的命題內(nèi)容，其命題方向主要有相關(guān)概念、運(yùn)算、圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用等.近年來，看似減弱了考查的比重，但是加大了對能力、思維、素養(yǎng)和靈活性等方面的考查力度.同時，更強(qiáng)調(diào)了對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的考查.本文主要從函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)出發(fā)，探究其命題特點(diǎn)、解題策略及教學(xué)啟示.

一、主要考查內(nèi)容、試題特點(diǎn)和解題策略

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象與性質(zhì)試題，主要考查周期性、單調(diào)性、對稱性、最值、解析式、五點(diǎn)作圖、圖象變換、性質(zhì)的應(yīng)用等基本內(nèi)容.他們均以正余弦曲線、正余弦函數(shù)的定義作為基石，進(jìn)行組合、變換及應(yīng)用.

1.整體代換思想貫穿于三角函數(shù)學(xué)習(xí)的始末

整體代換是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一種重要的思想方法，也是一種解題策略，時常出現(xiàn)在代數(shù)運(yùn)算中，類似于“換元法”.解決三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題，使用整體代換的思想方法，往往可以撥開迷霧，化難為易，幫助學(xué)生體會“由繁至簡”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，是提高數(shù)學(xué)能力和提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要手段.

因此，在利用整體代換解決三角函數(shù)問題時，知其然并知其所以然才能以不變應(yīng)萬變.

2.周期性是三角函數(shù)最重要的性質(zhì)

相比于其他函數(shù)，三角函數(shù)具有強(qiáng)烈的周期性，也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中大量周期現(xiàn)象的基本而有效的數(shù)學(xué)模型.利用三角函數(shù)的周期性，我們只需要研究清楚三角函數(shù)在一個周期內(nèi)的性質(zhì)，其他周期內(nèi)的性質(zhì)加上周期的整數(shù)倍即可.

周期函數(shù)所具有的這種獨(dú)特的研究策略具有較強(qiáng)的靈活性，在高考中也時有出現(xiàn).

例2.(2015·全國卷Ⅰ理·8)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

( )

此過程不需要求出解析式，只需由一個周期內(nèi)的特殊情況推廣到R上的一般情況即可.對于三角函數(shù)的最值、對稱性等問題，均可以用這種策略.需要說明的是，周期函數(shù)所具有的這種獨(dú)特的研究策略不僅適用于三角函數(shù)，還可以推廣到其他一切周期函數(shù)的研究上.

3.注重考查逆向思維及知識的產(chǎn)生過程

逆向思維是中學(xué)階段一種重要的思維方式，它和知識的產(chǎn)生過程是相輔相成的，只有對知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程及其來龍去脈了如指掌，才能靈活運(yùn)用逆向思維處理問題.

( )

例4.(2013·全國卷Ⅰ理·15)設(shè)當(dāng)x=θ時，函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=________.

分析：輔助角公式最主要的作用就是將同角正余弦的線性組合轉(zhuǎn)化為形如函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而求其性質(zhì).本題沒有求最值，而是求最大值點(diǎn)的余弦值，這樣一來，若只知道輔助角公式的結(jié)構(gòu)，不知道其產(chǎn)生、推導(dǎo)的過程，以及輔助角φ的來源，就難以解決此問題.事實(shí)上，

4.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)試題的傳統(tǒng)與創(chuàng)新

近年來，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)試題，一方面考查傳統(tǒng)模式上的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，另一方面，在題型、內(nèi)容布局和難度設(shè)計上進(jìn)行動態(tài)調(diào)整，更體現(xiàn)出對學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)及能力的考查.

( )

A.11 B.9

C.7 D.5

分析：本題與2012年新課標(biāo)全國卷Ⅰ理科第9題(上面例3)遙相呼應(yīng)，但是難度明顯加大，題號下沉，在利用通性通法進(jìn)行處理的基礎(chǔ)上，還要對四個選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)，對三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查更加深入，對學(xué)生能力的考查體現(xiàn)出層次性.(答案:B)

例6.(2019·全國卷Ⅰ理·11)關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結(jié)論：

③f(x)在[-π,π]有4個零點(diǎn) ④f(x)的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號是

( )

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

分析：本題以考生熟悉的正弦函數(shù)的基本性質(zhì)為基礎(chǔ)，并對其進(jìn)行兩種具有幾何意義的變形.在題型設(shè)置上是開放型的選擇題，有多個正確的結(jié)論，通過組合式選擇構(gòu)成單選題，學(xué)生需要逐個進(jìn)行分析判斷，因此對考生思維的考查更加深入.(答案:C)

二、教學(xué)啟示及復(fù)習(xí)建議

1.整體把握知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建知識體系

高中教材中三角函數(shù)一章是一個完整的知識體系，因此函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)也不是孤立存在的，它來源于正余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又進(jìn)一步應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界.只有掌握了知識上的連貫性、相容性及滲透性，才能把握知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和本質(zhì)屬性.

對于每一個模塊知識，教師都要幫助學(xué)生去構(gòu)建思維導(dǎo)圖或者知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)框圖.這樣能較好地整體把握模塊的知識基礎(chǔ)和思想方法，也能有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維及邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.例如，在函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)的復(fù)習(xí)中，可引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建如下的知識框架，然后再進(jìn)一步補(bǔ)充.

2.問題驅(qū)動，變式遞進(jìn)

從某種意義上講，教學(xué)設(shè)計的本質(zhì)就是問題的設(shè)計.用一系列問題或問題串驅(qū)動教學(xué)，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，吸引學(xué)生的注意力.特別是在復(fù)習(xí)教學(xué)中，針對某些章節(jié)中的典型問題，設(shè)計出相應(yīng)的探究型提問，以問題為載體，逐層深入，變式遞進(jìn)，一步步揭示問題的本質(zhì).例如，對于圖象變換問題，可設(shè)置如下問題串進(jìn)行探究.

問題一：如何由函數(shù)y=sinx的圖象變換為函數(shù)y=2sinx的圖象？

問題二：如何由函數(shù)y=2sinx的圖象變換為函數(shù)y=2sin3x的圖象？

在這種逐步遞進(jìn)的問題串中，不僅讓學(xué)生學(xué)會了三角函數(shù)中振幅、周期、相位三種常規(guī)變換，還讓學(xué)生學(xué)會了如何處理不同名三角函數(shù)的變換問題.問題四是將前面的sin結(jié)構(gòu)化為cos結(jié)構(gòu)，使之同名即可，而對于問題五，則將兩個sin結(jié)構(gòu)均化為cos結(jié)構(gòu)較為簡潔.

3.精選典型例題，滲透思想方法