“四能”驅(qū)動培育核心素養(yǎng)，從容助力應(yīng)對新高考

山東 李化周

2019年的全國高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷Ⅰ引起了社會的廣泛關(guān)注，許多考生感覺不適應(yīng).2020年高考數(shù)學(xué)又進(jìn)行了改革，增加了4道多選題，題量與思維量增大，對學(xué)生的應(yīng)考能力提出了更高的要求.新的課程標(biāo)準(zhǔn)提出要提升學(xué)生素養(yǎng)，注重發(fā)展學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力，而素養(yǎng)目標(biāo)會逐漸落實(shí)于高考中.作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)精準(zhǔn)把握高考的改革方向，在日常的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.在教學(xué)中數(shù)學(xué)教師應(yīng)改變以往偏重直接傳授知識的方式，多創(chuàng)設(shè)學(xué)科情境，通過組織學(xué)科活動，引導(dǎo)學(xué)生主動去發(fā)現(xiàn)、去經(jīng)歷、去感悟.教師應(yīng)更多地在學(xué)生無疑處生疑、無向處指向、無力時(shí)借力，讓學(xué)生站在課堂的正中央.如何幫助學(xué)生更從容地走過高考呢？經(jīng)過筆者所在學(xué)校高三數(shù)學(xué)組近一年的探索,發(fā)現(xiàn)在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生四個(gè)方面能力的培養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析能力、模型構(gòu)建能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、閱讀理解能力.

一、強(qiáng)化學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力

數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，過程主要包括：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進(jìn)行推斷、獲得結(jié)論.學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力也是近幾年高考考查的重點(diǎn).教學(xué)中要側(cè)重利用圖象、表格、頻率分布直方圖、條形圖、餅形圖、折線圖、莖葉圖等培養(yǎng)學(xué)生識表讀圖能力，培養(yǎng)學(xué)生對收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行再處理、再分析的能力.

【例1】相關(guān)變量x,y的散點(diǎn)圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析.

A．0

C．-1

從圖象上，我們發(fā)現(xiàn)(10,26)這個(gè)數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)差別較大，可能在數(shù)據(jù)收集過程中出現(xiàn)了誤差，我們可以剔除掉(10,26)，再來研究規(guī)律.發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)特性，剔除問題數(shù)據(jù)后，相關(guān)性增強(qiáng)，即r2更接近-1，故選C.

發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力，在教學(xué)中一是可以借助信息技術(shù)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力.教師借助信息技術(shù)多創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的情境，激發(fā)學(xué)生探究興趣；二是開展豐富的實(shí)踐活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、整理、分析和預(yù)測的過程.讓學(xué)生利用R軟件、Geogebra、excel表格、spass等工具分析數(shù)據(jù)，改變數(shù)據(jù)呈現(xiàn)方式，增強(qiáng)學(xué)生抽象理解能力同時(shí)也可以很好地鍛煉學(xué)生的分析能力，豐富學(xué)生處理數(shù)據(jù)的方法.

二、積極培養(yǎng)學(xué)生模型構(gòu)建能力

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)融于生活，讓學(xué)生從生活中提出數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題.新教材設(shè)計(jì)了多個(gè)數(shù)學(xué)建模的環(huán)節(jié)，使數(shù)學(xué)建模落實(shí)于課堂.在試卷中主要以應(yīng)用題的形式考查，學(xué)生需要從問題中識別出數(shù)學(xué)模型，然后利用數(shù)學(xué)的方法解決問題.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以在以下方面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力：一是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，對生活中的現(xiàn)象進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題，嘗試用數(shù)學(xué)方法解答.知識來源于生活，生活中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)模型，要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成從生活中尋找問題的習(xí)慣；二是讓課堂開放，鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上提出問題，在思考、合作、交流中找到問題的答案；三是鼓勵(lì)學(xué)生們通過觀察將生活和教材上的知識進(jìn)行連接，學(xué)會相互聯(lián)系；四是教師要經(jīng)常滲透模型構(gòu)造的方法.常用的構(gòu)造方法有將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成方程問題、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成圖形問題、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成三角問題、向量問題、不等式問題等.

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

運(yùn)算能力是思維和技巧的結(jié)合，包括對數(shù)值的準(zhǔn)確計(jì)算和估算, 對數(shù)學(xué)表達(dá)式的變形與轉(zhuǎn)化等，運(yùn)算過程中要認(rèn)清運(yùn)算條件、明確運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等；也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算策略的能力，以及堅(jiān)持到底的韌性.在運(yùn)算教學(xué)中，教師應(yīng)該多關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，使學(xué)生終身受用.

A. 165cm B. 175cm C. 185cm D. 190cm

按以往的經(jīng)驗(yàn)，在試卷這個(gè)位置的題目學(xué)生應(yīng)該非常輕松地可以完成,但很多學(xué)生在這個(gè)題就卡住了.據(jù)學(xué)生考完后反映，一部分學(xué)生讀不懂題意，有點(diǎn)懵；一部分學(xué)生沒有注意到關(guān)鍵詞“可能是”,這部分學(xué)生沒有嘗試估算而執(zhí)著于直接求得準(zhǔn)確的答案; 還有相當(dāng)一部分學(xué)生根據(jù)生活中的經(jīng)驗(yàn)憑直覺選出了正確答案B.

四、大力培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解能力

在新的高考形式下，學(xué)生文本理解能力、生活經(jīng)驗(yàn)等對考生考場作答影響較大.在教學(xué)中，教師應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，多了解生活中的數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)歷史，體會數(shù)學(xué)精神，感悟數(shù)學(xué)思想.

【例5】(2019·全國卷Ⅰ理·21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0,p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1),b=P(X=0)，c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．

這個(gè)題目如果改動一下，單獨(dú)作為數(shù)列題進(jìn)行考查：若數(shù)列{an}滿足：an=0.4an-1+0.5an+0.1an+1,且a1=0,a9=1,求證：{an+1-an}為等比數(shù)列，并求a5.

由an=0.4an-1+0.5an+0.1an+1很容易得到0.1(an+1-an)=0.4(an-an-1)，進(jìn)而可以證得{an+1-an}為等比數(shù)列，并借助a1=0,a9=1求得a5的值.而題目中a,b,c的值學(xué)生并不難求出.學(xué)生感覺考場乏力有以下幾個(gè)因素：一是閱讀能力不足，不能在有限時(shí)間內(nèi)讀懂題意；二是生活經(jīng)驗(yàn)匱乏，不能準(zhǔn)確理解各字母含義，不能準(zhǔn)確全面地分析可能會發(fā)生的各種情況；三是數(shù)學(xué)建模能力薄弱，不能從題中發(fā)現(xiàn)、抽象出數(shù)學(xué)模型；四是對多符號、多字母式子不能靜心分析每一個(gè)字母、符號代表的含義，失去了作答的信心.

【例6】窗的運(yùn)用是中式園林設(shè)計(jì)的重要組成部分，常常運(yùn)用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為正八邊形P1P2…P8的中心，P1P8⊥x軸，現(xiàn)用如下方法等可能地確定點(diǎn)M：PiPj(其中1≤i,j≤8，且i,j∈N*,i≠j)是正八邊形的頂點(diǎn)，M為線段PiPj的中點(diǎn)，則點(diǎn)M(異于點(diǎn)O)落在坐標(biāo)軸上的概率為( )

這是一道融合了中國傳統(tǒng)文化的創(chuàng)新題，字母較多，看似毫無頭緒，仔細(xì)觀察就可發(fā)現(xiàn)若點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，則Pi與Pj必關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，即問題轉(zhuǎn)化成軸對稱問題.從8個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)共有28種取法，而Pi與Pj關(guān)于x軸對稱的有4對,Pi與Pj關(guān)于y軸對稱的也有4對，共8對，根據(jù)古典概型概率公式可以求得D選項(xiàng)正確.