一道省質檢試題多解探究與拓展

福建 陳凌燕 蔡海濤

每年全國各地的高三質檢卷，總有一些賞心悅目的試題，它們是命題老師智慧的結晶，對這些試題進行深入探究，挖掘試題背景及內涵，既能讓教學內容豐富多彩，又能激發學生的學習興趣，有利于拓展學生的思維，提升學生的素養，對高三的復習備考有很大的意義.下面筆者以2020年福建省高三畢業班質量檢查測試文科第20題為例進行說明．

一、試題呈現

(2020·福建省高三質檢文·20)已知拋物線C:y2=2px(0

(1)求C的方程；

(2)是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被圓M所截得的弦長為定值？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由．

二、試題特點

本題以拋物線為載體考查圓錐曲線的方程及其簡單幾何性質、圓的幾何性質等知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、函數與方程思想，考查直觀想象、數學運算等核心素養，體現基礎性、綜合性．題目的特點是：(1)本題以拋物線與圓的組合型圓錐曲線為背景，需要觀察兩條曲線的特征，利用幾何圖形的性質解題，體現考查的綜合性；(2)本題求解的問題為曲線的軌跡方程及定值問題，這兩個問題均是解析幾何中重要的問題，也是近年高考中的高頻考點，體現模擬考試與高考接軌的功能；(3)本題第二問有多種解法，不同解法思路體現考生思維的差異性；(4)第二問是探索性問題，具有開放性和發散性，此類問題的條件和結論不完備,需要結合已知條件或假設新的條件進行探究、觀察、分析、抽象、概括等，是素養導向下的典型題型.

三、解法探析

本題(1)問易得C:y2=4x.(解答過程略)

(2)問是探索直線存在性問題，求解這類問題常有兩個思路.

思路一:“肯定順推法”，即將不確定性問題明朗化.其步驟為：假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數)存在，用待定系數法設出，列出關于待定系數的方程組，若方程組有實數解，則元素存在；否則，元素不存在.

思路二：利用特殊與一般思想，先猜想后證明.

解法綜述：假設滿足題意的直線l:x=a存在，在A的運動過程中取兩個特殊位置，比如當A運動到A(0,0)和A(4,4)時，求圓M的圓心坐標與半徑，進一步利用垂徑定理分別求出兩個特殊圓截l的弦長，因為弦長為定值，建立方程求得a=3，即表明“若l存在，則只可能為x=3”，再證明圓M截l的弦長為定值，便可證明l為符合題意的直線，從而解決問題.

四、試題反思

1.引申推廣

解完此題，筆者意猶未盡，對問題加以推廣探究，得到如下兩個問題．

探究一：已知A是拋物線C:y2=2px(p>0)上一動點，點Q(q,0)．是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為定值？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由．

設l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為t，

探究二：已知A是拋物線C:y2=2px(p>0)上一動點，定直線l:x=a，是否存在x軸上的定點Q，使得l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為定值？若存在，求定點Q的坐標；若不存在，說明理由．

設l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為t，

此時t2=2ap>0，即a>0，

當a≤0時，不存在；

特別地，當a=0時，直線l即y軸，取點Q為拋物線焦點，此時動圓與y軸相切.

2.類比探究

基于以上的引申推廣，類比橢圓與雙曲線是否也具有類似的性質.

設l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為t，

所以不存在直線滿足題意.

雙曲線與橢圓類似，不存在符合條件的直線，結論也不成立.

我們解題時常有“似曾相識燕歸來”的感覺，這就是類比.教師要引導學生由一個數學對象的性質遷移到另一個數學對象上去，從而獲得另一個對象的性質，這是解決數學問題的常用方法，當然由此例還可看出類比僅僅是種猜測，結論未必正確，需要進行驗證.

3.變式拓展

(1)已知A是拋物線C:y2=4x上一動點，點Q(2,0)，垂直于x軸的直線l被以線段QA為直徑的動圓M所截得的弦長為定值，則Q到直線l的距離為________．

(i)求E的方程；

(ii)過點F的直線交E于A,B兩點，以AB為直徑的圓D與平行于y軸的直線相切于點M，線段DM交E于點N，證明：△AMB的面積是△AMN面積的四倍．

解:(i)化簡得E的方程為y2=4x(x>0)．(過程略)

依題意可設直線AB的方程y=k(x-1)(k≠0)，

故S△AMB=4S△AMN．

羅增儒教授說過:數學解題的四個水平為:模仿、練習、領悟、理解.教師設計變式練習，是提升學生解題能力的有效途徑.

五、結語