關注數學本質，落實核心素養的培養
——由2020年北京高考數學解析幾何問題引發的思考

北京 王長友

解析幾何綜合問題是高中數學教學的重點，同時是學生學習的難點，更是高考考查的重要載體，本文對學生在2020年北京高考數學解析幾何大題中的完成情況、未完成原因等事實基礎上進行教學思考，希望通過對學生存在的問題進行分析，從而改進教師的日常教學，建立 “追根溯源，關注數學本質”的教學基石.

一、典型問題再現

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(2)當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為y=k(x+4)，易知斜率k存在；設M(x1,y1),N(x2,y2),P(-4,yP),Q(-4,yQ).

方法二：同方法一的前半部分，即

方法三：將原問題轉化為“過點A作兩條直線AM,AN與橢圓交于M,N兩點，且滿足B,M,N三點共線”.

設直線AM的方程為y+1=m(x+2)，直線AN的方程為y+1=n(x+2)，易知m,n存在且m≠0,n≠0,m≠n.設M(x1,y1),N(x2,y2),P(-4,yP),Q(-4,yQ).

令x=-4，則yP=-2m-1,yQ=-2n-1，

化簡并整理得m2-n2+m-n=0即(m-n)(m+n+

1)=0因為m≠n，所以m+n=-1，

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)是否存在常數λ，當直線l變動時，總有k1=λk2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

方法一：由(Ⅰ)知,A(-2,0),B(2,0)，當直線l的斜率不存在時，即直線l的方程為x=1．

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x-1),

C(x1,y1)，D(x2,y2)．

方法二：設C(x1,y1)，D(x2,y2)，直線lAC:y=k1(x+2),直線lBD:y=k2(x-2)，易知k1,k2存在且都不等于0.

12) = 0，

方法三：①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1．

②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x-1)，顯然k≠0，C(x1,y1)，D(x2,y2)．

方法四：①當直線l的斜率不存在時，同方法三；

②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x-1)，顯然k≠0，C(x1,y1)，D(x2,y2)．

整理得 4(1-λ2)-2(1+λ2)(x1+x2)+(1-λ2)x1x2=0，

通過對比就會發現，兩個問題研究的方法基本如出一轍，而例2是作者在教學中重點講解的問題，但是在高考中部分學生還是未能很好地順利完成，引人思考.

二、學生困難與剖析

通過調研部分未能整體完成此題的學生，發現基本困難如下：

【困難4】學生在實際運算中只求得yP=

【困難5】對于方法三學生的問題有：未想到上述方法三中的轉化研究對象，想到轉化但是擔心直線與橢圓方程聯立時運算量大不敢實施，或部分實施后未能明確運算方向為研究m,n的關系，在實施過程中出現運算錯誤造成無法完成等.

進一步對學生困難進行挖掘、分析，可以發現學生困難的本質，一方面學生未能用數形結合思想、運動變化觀點、特殊與一般的關系，主動探究解決問題的思路；另一方面學生對解析幾何中運算的方向、策略，運算的方法與經驗等不理解，缺少理性思考與感悟.因此，可以得出的基本結論為：很多學生的解析幾何學習是“習慣在高度模仿水平”，未能理解解析幾何學習的本質.

三、教學思考

分析高考真題與學情，結合教育部關于高考的主要任務為：立德樹人“一堂課”、服務選才“一把尺”、引導教學“一面旗”的要求，教師的日常教學需要進行深刻反思，在教學中抓住數學本質、落實學科素養的培養.

(一)解析幾何教學的本質與學業要求

教師要明確新課標指出的解析幾何是“研究對象是幾何圖形，研究方法主要是代數方法”的教學本質，認真研讀新課標關于解析幾何的學業要求，即“根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化為代數問題；根據對幾何問題(圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法得到結論”.

(二)思考

按照課標要求，對比學生在上述解答問題中出現的困難，就清晰地指明了教師在教學中的改進方向.

1.教師要重視基礎知識、基本技能、基本思想與方法、基本學習經驗的生成過程

在教學過程中，教師要敢于給學生思維的時間與空間，充分體現學生探究、困惑、優化、解惑的過程，只有充實過程，才能感悟深刻.教師在教學中應該引導學生充分理解：解析幾何綜合問題是在運動變化過程中研究變化規律(確定性質、特殊規律等)，因此抓住研究對象間的聯系合理轉化為代數關系是核心，有效進行運算、解決問題是落腳點，教師要科學、有層次的設計問題，進而引導學生逐步建立良好的研究解析幾何問題的思維過程，即

簡而言之，分為三個過程，即學生認識與體會、理解與正確操作、掌握與感悟本質.

2.教師要系統規劃與細化解析幾何運算素養提升的途徑

解析幾何研究的運算對象較多，教學中需要引導學生從幾何、代數等基本關系入手，尋找連接點，合理設計與選擇運算方法， “算什么、怎么算”是解析幾何運算素養落地的核心.解析幾何的運算分為兩方面，一方面是常規程序化運算(如直線與曲線方程聯立、共線、垂直、平行等位置關系的求解等)，另一方面為結合問題情境自主設計運算.程序化運算是基礎，要指導學生落實細節并養成良好的運算習慣(如例1運算過程中隨時化簡的習慣等)；自主設計是目標，要充分理解運算的本質是邏輯推理分析，要讓學生學會定性與定量的結合，關注定性分析明方向、關注定量運算求準確；要有時刻進行化繁為簡的意識；要有效進行整體代換，重視運算結構；大膽實施估算與精算的有機結合等.

3.教師要引導學生主動思考與激發學生的創造性

回顧例1中的北京高考試題和例2的模擬題，進一步分析會發現問題的共性為：與橢圓有關的兩條直線的斜率具備特殊關系(如和是定值、差是定值、積是定值、商是定值)時橢圓具有的一些性質.

教師要有意識的設計問題刺激學生.進一步思考就會發現問題表面上是在研究圖形的幾何性質，深層次是數學的邏輯關系使然，是引導學生學會嘗試“用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界”的數學教育價值，同時學生也能體會到數學的邏輯美、奇異美.只要教師在教學中引領學生主動思考，就會激發學生的創造性.