一道高三模考題的探究與反思

甘肅 焦永垚 李強龍

本題是2020年甘肅省第二次高考診斷考試理科第12題，此題以平面向量的數量積為背景，考查平面向量數量積在三角形中的應用，這類問題是近年來的高考熱點問題之一．本文以該題為例，探尋破解這類問題的方法，并類比推理給出這類題的一般結論及源頭，希望能為廣大備考師生提供幫助．

1.解法探究

很多考生拿到題目感覺無從下手，試題中與數量積有關的條件(如模、夾角)均未出現，致使考生覺得無法直接進行計算，主要原因是對解決這類向量問題的方法掌握不夠．其實考生都知道“基底法”和“坐標法”是解決平面向量問題的兩種通法，考生只有熟練掌握這兩種方法所需的基本知識和技能，才能使這類問題迎刃而解．

思路3(坐標法)：坐標法是解決平面向量問題的基本方法．根據已知條件和圖形的結構特征建立適當的坐標系，從而把向量運算轉化為坐標運算，把幾何問題轉化為代數問題．

思路4(斜坐標系法)：斜坐標系下向量數量積的坐標運算與直角坐標運算不同，在直角坐標系下，若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a·b=x1x2+y1y2．而在斜坐標系下，a·b=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)cosθ，其中0<θ<π，這里的θ為斜坐標軸Ox與Oy所成的角．利用“斜坐標系”解決平面向量問題常常起到四兩撥千斤的作用．

思路5(特殊化法)：“特殊化法”是解決小題的一種常用方法，教師要引導學生在解題過程中勿“小題大做”，而是要“小題小做”．“特殊化法”常常在解決小題中起到化繁為簡的作用，使本來看似無從下手的問題撥云見日，迎刃而解．

2.同源變式

答案：24.

解：因為點M是AC的中點，點N是BC的中點，所以點P是△ABC的重心，所以

【點評】三角形重心的性質以及與向量的關系源于人教A版《必修4》113頁習題2.5A組的第2題．三角形重心的性質在高中數學中應用非常廣泛，考生在復習中應予以重視．

3. 題目本質

如圖，在△ABC中，M,N分別是邊AC和BC上的點，滿足AC=λAM，BC=μBN，BM與AN交于點P．

由此我們可以得到以下結論．

結論：在△ABC中，M,N分別是邊AC和BC上的點，滿足AC=λAM，BC=μBN，BM與AN交于點P．則：

4. 追本溯源

5. 小結反思