運用數學方法 巧解遺傳難題

湖北

生物學中許多遺傳計算、分析題對學生來說存在一定的難度，但如果能巧妙應用數學的思維方法和解題方法，那么很多題目便可以迎刃而解，既可以提高解題的速度和準確率，還可以深化學生對知識的理解。

1.用數學歸納法證明自由交配淘汰隱性個體的公式

【例1】基因型為Aa 的個體，隨機交配n 代，每一代淘汰其中的隱性個體，求第n 代中AA 和Aa 個體所占的比例。

【答案】n/（n+2） 2/（n+2）

【分析】

2.數列方法

還可以運用數列方法推導上述公式。

解：設Fn中Aa 的概率為an，可求得F1中Aa 的概率為a1=2/3

則Fn-1中Aa 的基因型頻率P（Aa）=an-1，AA 的基因型頻率 P（AA）=1-an-1

由基因型頻率求基因頻率，Fn-1中的P（A）=1-an-1+=1-，P（a）=

由Fn-1中的基因頻率求Fn中基因型頻率，

再淘汰掉aa 個體，剩下的個體中Aa 占所有個體的比例為

還可以用這個方法推導連續自交n 代同時淘汰隱性個體等比較復雜的概率計算題。

3.條件概率

在求解遺傳概率時，經常會碰到一些需改變范圍、改寫比例的問題，如致死、淘汰、求雌性個體中的顯性個體、求顯性個體中的純合個體等問題。這類題目，學生常常容易出錯，但是如果采用條件概率的方法求解，則不容易出錯。

【例2】果蠅的灰身與黑身（設基因為A/a）、紅眼與白眼（設基因為R/r）是兩對相對性狀。兩只純合親代果蠅雜交，F1無論雌雄全為灰身紅眼果蠅，F1雌雄果蠅相互交配得到F2的表現型如表1。

表1

請回答下列問題：F2灰身紅眼雌蠅中，雜合子所占的比例為___________________________。

【答案】5/6

【分析】解題前可先判斷出灰身對黑身為顯性，基因位于常染色體上；紅眼對白眼為顯性，基因位于X 染色體上。F1雌雄個體的基因型分別為AaXRXr、AaXRY。

錯解：F2灰身紅眼雌蠅中雜合子所占的比例=1-F2灰身紅眼雌蠅中純合子所占的比例=1-1/16=15/16。

錯因分析（如圖1）：

圖1

像這一類改變了范圍的概率計算題，教師可以借助集合圖來幫助學生理解，把所有的F2看成全集，F2灰身紅眼雌蠅稱為事件B，是其中的一個子集，F2灰身紅眼雌蠅中的雜合子稱為事件A，又是事件B 中的一個子集。題目要求事件B 中事件A 的概率，而不是F2中事件A 的概率。

所以錯解解法求的是F2中除灰身紅眼雌蠅純合子外其他所有個體所占的比例，包括所有雄蠅、黑身紅眼雌蠅、灰身紅眼雌蠅雜合子。

正解：在事件B 發生的條件下，事件A 發生的條件概率為P（A|B）=P（AB）/P（B）。

F2中，灰身紅眼雌蠅的概率P（B）=3/4×1/2=3/8；

F2中，灰身紅眼雌蠅純合子的概率P（AB）=1/4×1/4=1/16；

F2灰身紅眼雌蠅中，純合子所占的比例為P（A|B）=P（AB）/P（B）=1/6；

F2灰身紅眼雌蠅中，雜合子所占的比例為1-1/6=5/6。

4.獨立事件、互斥事件

相互獨立事件是指發生互不影響的兩個事件，互斥事件是指不可能同時發生的兩個事件。

加法原理又稱分類計數原理，如果做一件事有n 類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法……那么完成這件事的方法共有m1+m2+……mn種。每一種方法都是互斥的才能用加法原理。

乘法原理又稱分步計數原理，做一件事要分成n 個步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法……那么完成這件事的方法共有m1×m2×……mn種。乘法原理中每一步都不能獨立完成任務，各步都不可缺少，且每一種方法都是獨立的才能用乘法原理。

很多學生在運用加法原理和乘法原理時不能正確分析兩個事件的關系導致計算錯誤。現列舉示例加以說明。

誤區一：認為兩對基因自由組合的問題中才涉及獨立事件和互斥事件

【例3】果蠅的紅眼與白眼（設基因為R/r）是一對相對性狀。雌果蠅XRXr與雄果蠅XrY 雜交得F1，F1雌雄個體隨機交配得F2，請分析F2中的表現型及比例。

【答案】紅眼雌蠅∶白眼雌蠅∶紅眼雄蠅∶白眼雄蠅=5∶3∶2∶6

【分析】

錯解：F1雌配子中有1/8XR，3/8Xr，雄配子中有1/8XR，1/8Xr，1/4Y，雌雄配子隨機結合，所以F2中有5/64 紅眼雌蠅，3/64 白眼雌蠅，1/32 紅眼雄蠅，3/32 白眼雄蠅。

錯因分析：F1中基因型為XRXr、XrXr、XRY、XrY是互斥事件，所以各占1/4，但在F1隨機交配得到F2過程中，母本的基因型和父本的基因型是獨立事件，雖然得到的結果也是紅眼雌蠅∶白眼雌蠅∶紅眼雄蠅∶白眼雄蠅=5∶3∶2∶6，但分析計算的過程是錯誤的。

F1雌配子中有1/4XR，3/4Xr，雄配子中有1/4XR，1/4Xr，1/2Y，雌雄配子隨機結合，所以F2中有5/16 紅眼雌蠅，3/16 白眼雌蠅，1/8 紅眼雄蠅，3/8 白眼雄蠅。

誤區二：認為兩個事件的關系不是互斥事件就是獨立事件

【例4】已知A/a、B/b、C/c 三對等位基因分別在常染色體、僅在X 染色體，XY 染色體同源區段上，求基因型的種類。

【答案】54 種

【分析】錯解：一對基因在常染色體上有3 種基因型，僅在X 染色體上有5 種，XY 染色體同源區段有7 種，所以一共有3×5×7=105 種。

正解：Aa 在常染色體上，與另外兩對基因是獨立事件，但B/b、C/c 這兩對基因都在性染色體上，它們之間既不是互斥事件，也不是獨立事件。若為雌性，則有3×（3×3+1）=30 種，其中，有兩種組合類型。若為雄性，則有3×（2×4）=24 種。一共有30+24=54 種。

5.運用邏輯思想理解基本概念

【例5】（2018 年，全國卷Ⅲ，第31 題節選）某小組利用某二倍體自花傳粉植物進行兩組雜交實驗。雜交涉及的四對相對性狀分別是：紅果（紅）與黃果（黃）、子房二室（二）與多室（多）、圓形果（圓）與長形果（長）、單一花序（單）與復狀花序（復）。實驗數據如表2。

表2

回答下列問題：

（1）控制乙組兩對相對性狀的基因位于______________（填“一對”或“兩對”）同源染色體上，依據是__________________________________。

【答案】一對 F2中每對相對性狀表現型的分離比都符合3∶1，而兩對相對性狀表現型的分離比不符合9∶3∶3∶1

【分析】錯解：一對 F2分離比不符合9∶3∶3∶1

控制兩對相對性狀的基因位于一對同源染色體上包含兩個子命題，第一個是每一對基因都在一對同源染色體上，都遵循基因的分離定律，第二個是兩對基因在同一對同源染色體上。

在不考慮基因互作、致死等特殊情況下，雙雜合子自交子代不出現9∶3∶3∶1 的性狀分離比是兩對基因不遵循基因的自由組合定律的充要條件，但是只是兩對基因在一對同源染色體上的必要不充分條件。還需要先證明每對基因都在一對同源染色體上，充要條件為雜合子自交，每對相對性狀的分離比都符合3∶1。

利用邏輯思想，還可有助于理解種群進化、物種形成、等位基因、同源染色體、純合子、雜合子等概念。如種群基因頻率改變是種群進化的充要條件，隔離是物種形成的充要條件，但是地理隔離是物種形成的既不充分也不必要條件。

6.基本不等式

【例6】判斷：在一個遺傳平衡種群中，有AA、Aa、aa 三種基因型的個體，其中Aa 基因型頻率可能大于1/2 （ ）

【答案】×

【分析】對一個遺傳平衡種群，設A 基因頻率P（A）=p，a 基因頻率P（a）=q，則AA 基因型頻率P（AA）=p2，aa 基因型頻率P（aa）=q2。根據基本不等式，p2+q2≥2pq，當且僅當p=q=1/2 時等式成立，所以Aa 基因型頻率P（Aa）=2pq ≤1/2。

7.極限思想

【例7】（2014 年，全國卷Ⅰ，第5 題）如圖2 為某種單基因常染色體隱性遺傳病的系譜圖（深色代表的個體是該遺傳病患者，其余為表現型正常個體）。近親結婚時該遺傳病發病率較高，假定圖2 中第Ⅳ代的兩個個體婚配生出一個患該遺傳病子代的概率是1/48，那么，得出此概率值需要的限定條件是 （ ）

圖2

A.Ⅰ2和Ⅰ4必須是純合子

B.Ⅱ1、Ⅲ1和Ⅲ4必須是純合子

C.Ⅱ2、Ⅱ3、Ⅲ2和Ⅲ3必須是雜合子

D.Ⅱ4、Ⅱ5、Ⅳ1和Ⅳ2必須是雜合子

【答案】B

【分析】本題可以用極限的方法順向推導從而快速得出正確答案。

已知Ⅱ2為Aa，當Ⅱ1為AA 時，Ⅲ2為Aa 的概率為1/2；當Ⅱ1為Aa 時，Ⅲ2為Aa 的概率為2/3，所以Ⅲ2為Aa 的概率≥1/2，當Ⅱ1為AA 時取最小值。

同理，Ⅳ1為Aa 的概率≥1/4，當Ⅱ1和Ⅲ1均為AA 時取最小值。

Ⅳ2為Aa 的概率≥1/3，當Ⅲ4為AA 時取最小值。

Ⅳ1與Ⅳ2婚配生下aa 的概率≥1/4×1/3×1/4，當Ⅱ1、Ⅲ1和Ⅲ4都是純合子時取最小值1/48。

綜上所述，高中生物作為一門綜合性的學科，其中滲透了大量的數學知識。將兩大學科相結合，是一種高層次的思維能力。高中生物教師在教學中善于運用數學知識，不僅可以優化教學，還可以給學生起到跨學科思維的良性示范作用，這對幫助學生深入理解生物學基本概念和原理、提高創造力大有益處。