數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用舉例

陜西 侯有岐

數(shù)形結(jié)合思想是最重要的數(shù)學(xué)思想之一，“數(shù)”和“形”是對(duì)同一個(gè)事件描述的兩種不同的形式，兩者相輔相成，各有優(yōu)點(diǎn)，但其反應(yīng)的本質(zhì)相同.本文主要對(duì)“形”的認(rèn)識(shí)展開(kāi)探討.在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“形”的了解很多時(shí)候僅停留在表面的認(rèn)識(shí)，但只要認(rèn)真分析，問(wèn)題就很容易解決.

一、考點(diǎn)回顧

在近幾年的高考試題中，觀數(shù)思形、利用數(shù)形結(jié)合思想解題是高考數(shù)學(xué)中解決部分函數(shù)選填壓軸題時(shí)常用的解題技巧之一，這也是數(shù)形結(jié)合思想的最基本應(yīng)用.對(duì)于某些函數(shù)最值問(wèn)題，有時(shí)候通過(guò)求導(dǎo)數(shù)、判斷函數(shù)單調(diào)性的處理策略而無(wú)力解決時(shí)，我們不妨觀數(shù)思形，從圖象的角度來(lái)思考分析，可以通過(guò)觀察函數(shù)圖象，給待求式賦予一定的幾何意義，從而解決問(wèn)題.本文通過(guò)實(shí)例，展示觀數(shù)思形、巧妙轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想快速找到解題思路，從而順利解決函數(shù)最值問(wèn)題.

二、典例剖析

【例1】已知關(guān)于x的函數(shù)y=(x-a)2+(ex-a+1)2(a∈R)的最小值為m(a)，求m(a)的最小值.

思路分析：此題并非常規(guī)函數(shù)類型，初步想法是可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，以此求出函數(shù)的最小值.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得y′=2x-2a+2e2x-2(a-1)ex，我們發(fā)現(xiàn)在求解y′=0時(shí)，遇到非常大的困難，這樣函數(shù)的單調(diào)性就無(wú)法判斷，不得不終止這種想法.那么，換個(gè)角度思考，還有其他的解法嗎？仔細(xì)觀察函數(shù)的表達(dá)式之后，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)表達(dá)式是由兩個(gè)完全平方式構(gòu)成，自然聯(lián)想到平面上兩點(diǎn)之間的距離公式，于是可以嘗試一下將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求P(x,ex),Q(a,a-1)兩點(diǎn)之間的最短距離的平方.

解法一：不妨設(shè)P(x,ex),Q(a,a-1)，則y=|PQ|2，且點(diǎn)P(x,ex)為函數(shù)y=ex圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q(a,a-1)為直線y=x-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，那么PQ何時(shí)最短呢？

可以將直線y=x-1向曲線y=ex方向平移，直至與曲線y=ex相切，則切點(diǎn)即為點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線y=x-1的垂線段，垂足為Q，此時(shí)PQ最短，如圖所示.

( )

C.e D.3

解法一：不妨設(shè)P(a,b),Q(c,d)，則(a-c)2+(b-d)2=|PQ|2，且點(diǎn)P(a,b)為函數(shù)y=x2-lnx圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q(c,d)為直線y=x-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=x-2向曲線y=x2-lnx方向平移，直至與曲線y=x2-lnx相切，取切點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作直線y=x-2的垂線段，垂足為Q，此時(shí)PQ最小，如圖所示.

通過(guò)上述分析，當(dāng)x=1時(shí)，y2=x2-x-lnx+2取得最小值且最小值為2.

把相機(jī)放在支架上，而不是用手拿著，可以得到更干凈直接的模糊效果。不妨兩種方法都嘗試一下，看看你更喜歡哪一種。如果縮小光圈和降低ISO都不能達(dá)到足夠慢的快門速度，那就裝上中灰鏡吧。

所以m的最大值為2，故選A.

【例3】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),與點(diǎn)A(1,2)的距離為1,且與點(diǎn)B(3,1)的距離為2的直線共有( )條.

A.1 B.2

C.3 D.4

思路分析：本題若直接求解,將無(wú)從下手,若將數(shù)的問(wèn)題輔以形的意義,就能利用圓的定義畫出分別以A(1,2)，B(3,1)為圓心，以1，2為半徑的兩個(gè)圓,然后再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩圓的公切線的條數(shù).

因?yàn)閮蓤A圓心距

所以圓A與圓B相交,所以公切線有2條.

所以符合題意的直線共有2條,故選B.

評(píng)注：本題若直接求解比較困難，但若觀數(shù)思形，將數(shù)的問(wèn)題輔以形的意義，就有事半功倍的效果，其實(shí)這樣的方法在高考題中屢見(jiàn)不鮮，要引起高度重視.

【例4】豎立在地面上的兩根旗桿的高分別為10米和15米，相距20米，則地面上到兩根旗桿頂點(diǎn)的仰角相等的點(diǎn)P的軌跡是

( )

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

思路分析：要求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡,由于P點(diǎn)在地面上,因而只要將動(dòng)點(diǎn)P所受的空間限制條件轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P在平面上的限制條件,再由相關(guān)知識(shí)即可求出.

三、精題集萃

1.已知函數(shù)f(x)=2lnx和直線l:2x-y+6=0，若點(diǎn)P是函數(shù)f(x)圖象上的一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為_(kāi)_______.

四、總結(jié)反思

數(shù)形結(jié)合思想是我們平時(shí)做題時(shí)最常用的思想方法之一，數(shù)的抽象可以通過(guò)形的直觀來(lái)理解，數(shù)形結(jié)合就是實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化，具體應(yīng)用表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

1.通過(guò)坐標(biāo)系、圖象等，“形”題“數(shù)”解

借助于直角坐標(biāo)系可以將圖形問(wèn)題代數(shù)化，這一方法在解析幾何和立體幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分.常與以下內(nèi)容聯(lián)系：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如向量、三角函數(shù)等；⑤以函數(shù)圖象為載體，解決有關(guān)函數(shù)最值問(wèn)題等.

2.通過(guò)轉(zhuǎn)化構(gòu)造，“數(shù)”題“形”解

在解題過(guò)程中，有許多代數(shù)結(jié)構(gòu)有著明顯的幾何意義，因此，可以將“數(shù)”與“形”進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化靈活解題，如本文所舉的例題.另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的有效工具之一，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常結(jié)合起來(lái)應(yīng)用于解題.

五、高考預(yù)測(cè)

從目前高考“注重通法，淡化特技，培養(yǎng)素養(yǎng)”的命題原則來(lái)看，高考對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查主要體現(xiàn)下面三個(gè)方面：

一是利用數(shù)形結(jié)合直觀、簡(jiǎn)捷地解答選擇題、填空題.

二是利用數(shù)形結(jié)合求解解答題，特別是向量法、坐標(biāo)法在立體幾何、解析幾何中的應(yīng)用及函數(shù)圖象在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題中的應(yīng)用.

三是以圖表為載體，考查讀圖、識(shí)圖及信息轉(zhuǎn)換能力.這種問(wèn)題在選擇、填空題中有增加題量的趨勢(shì).

數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖象之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化、幾何問(wèn)題代數(shù)化.

六、參考答案