用空間向量速求二面角的幾種方法

江西 毛樂萍

利用空間向量求二面角，思路切入快，但常規方法運算量大，過程比較復雜，容易出錯，是學生的常見失分點.在某些條件下，可以采用更簡單的運算，快速求出結果，下面筆者介紹幾種方法.

一、運用截距法速求平面的法向量

用常規求法向量的方法易證，證明過程略.下面舉例來說明截距法的運用.

【例1】(2019·天津卷·理17)如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC,AD⊥AB，AB=AD=1,AE=BC=2.

(Ⅰ)求證：BF∥平面ADE；

(Ⅱ)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

解析：(Ⅰ)證明略.

評析(Ⅱ)中若用傳統求法向量的方法，則需要設法向量的坐標，利用法向量與平面中兩個不共線向量的數量積為零列方程組，求得法向量，過程比較麻煩，運算量大.而運用截距法求平面的法向量，只需要知道平面在坐標軸上的截距就可以直接得出法向量，不需要計算，大大減少了運算量，且提高了運算的準確度.(Ⅲ)中若用列方程組的方法求法向量，不僅法向量是未知的，且點F的坐標中也含有未知數，更增加了運算量與難度，而運用截距法求平面的法向量，求出了截距之后，法向量一步就到位，繞開了求含參數的方程組，快速得到法向量，順利求得結果.

二、利用二面角的定義，不求法向量

(Ⅰ)求PO的長；

(Ⅱ)求二面角A-PM-C的正弦值.

評析在二面角的兩個半平面內若能分別找到垂直二面角的棱的直線，由二面角的定義，則可以轉化為求這兩直線的方向向量所成的角，不需要在三角形中用余弦定理求解，也不需要求兩平面的法向量，簡化了運算過程，大大減少了運算量，同時可以提高運算的效率，可以快速求出結果.

三、利用共線向量找等效向量

【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，底面四邊形ABCD為直角梯形，AD=λBC，AD∥BC，∠BCD=90°，M為線段PB上一點.

解析：(Ⅰ)延長BA與CD交于點N，由線面平行的性質定理易知存在點M為線段PB上靠近點P的三等分點.

四、利用等效平面

【例4】如圖，在四棱錐P-ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°,PC⊥BD.

(Ⅰ)求證：BP=DP；

解析：(Ⅰ)連接AC交BD于點O，∵△ABD為正三角形，△BCD是等腰三角形，

∴AC⊥BD且O為BD的中點.由已知PC⊥BD，PC∈平面APC，可得BD⊥平面APC.

∴BD⊥PO.又∵O為BD的中點，∴△PBD為等腰三角形，即PB=PD.

利用空間向量解立體幾何不是難點，但卻是高考重點考查內容，因為計算量大而容易出錯，要重視方法的總結與積累，減少運算量，提高運算的準確度.