一道極坐標方程調考題引發的思考
——被忽略的極徑

廣東 閆 偉

極坐標方程是選修4-4的內容，該試題對于基礎較好的學生而言不難，但是根據考試結果看學生得分不高，據多數考生反饋本次考題第一問簡單，第二問由于計算量“太大”導致學生無法解出，究其原因筆者認為是學生過分依賴直角坐標方程，理想地認為只要轉化到直角坐標方程中就可以解決所有問題，對極坐標方程中極徑的本質理解不到位.因此高三復習備考中應強化互化、突出應用、突破用“極”、“直”還是“參”及何時用效果更好.本文從極坐標方程的本質出發來做一些研究.

1.再現學生答題錯誤

(I)求C1的極坐標方程和C2的直角坐標方程；

下面給出幾個典型錯誤：

無法繼續算下去，這種把希望寄托在直角坐標方程中，殊不知這樣算根號中帶根號，不能繼續化簡，后續運算勞而無功，經統計使用這種解法的學生占58.49%.

2.錯誤原因分析

2.1 對教材、考試大綱認識不足

對于極坐標方程，近些年考試大綱明確：(1)了解極坐標方程，了解極角、極徑的意義；(2)掌握極坐標方程與直角坐標方程的互化；(3)舉例說明解題時用極坐標方程比普通方程更方便，感受極坐標方程的優越感.對于極坐標方程而言：極角的幾何意義是極徑與極軸所成的夾角，極徑是曲線上的點到極點的距離；學習極坐標方程有助于學生進一步體會解題中數學方法的靈活多變，這一點在考查極坐標方程中的極徑ρ的幾何意義上體現尤為突出.

2.2 思維固化導致解題方法僵化

考試過后，和學生進行深入探討，分析無法解答的原因，大部分學生反映，由于對直線和圓以及圓錐曲線較熟悉，所以解題時嚴重依賴直角坐標方程，只想著在直角坐標系中求解，而不想去接受“新知識”、“新方法”，對于該掌握的知識和方法沒有掌握好，更談不上靈活應用，導致一些試題陷進就束手無策了；如本題第(Ⅱ)問是不適合用直角坐標方程求解的，不然計算量很大，也很容易出錯.

2.3 知識系統不完善，師生重視不夠

部分老師認為極坐標方程這一部分是送分的，新課快速講完，幾乎不怎么復習，就直接開始高三一輪復習；對于學生的學習狀況停留在答案對就行的層面，以為學生會用直角坐標方程解答就能應對一切，沒有對這部分內容進行深入的分析，沒有構建完善的知識體系.對于學生而言可能只會進行“直”“極”“參”之間的轉化，只會在直角坐標方程中解答，但是縱觀近些年的高考題，極坐標方程的問題一旦轉化成直角坐標方程，就掩蓋了其幾何意義，使得運算量繁雜，甚至無法順利完成.筆者分析了近期學生的作業，利用極坐標來解答的題型學生都難以應對.

3.利用極坐標方程解答幾類常見的題型

筆者整理了近年來在高考和模擬考中經常出現的利用極坐標方程中ρ的幾何意義來解答的試題.

類型1.求線段長度的最值

(Ⅰ)求C2與C3交點的直角坐標；

(Ⅱ)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值.

評注：本題考查參數方程、極坐標方程化為普通方程和極徑的幾何意義，利用極徑表示兩點間的距離，再利用三角化一求最值；要求學生掌握極徑的應用——表示兩點間距離.

類型2.求線段比的最值

(Ⅰ)寫出C1，C2的極坐標方程；

解析：(Ⅰ)易求得C1，C2的極坐標方程分別為ρ(cosθ+sinθ)=1，ρ=4cosθ；

評注：本題考查三種方程間的轉化，注意消參與轉化公式的靈活應用；另外，應用極坐標中極徑的幾何意義可求過極點的弦長，解題中要合理運用這些方法.

類型3.求數量積

(Ⅰ)求曲線C的極坐標方程；

(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|OA|·|OB|的值.

解析：(Ⅰ)易知C的極坐標方程為ρ2-2ρcosθ-3=0.

評注：本題考查參數方程化為普通方程與極徑的幾何意義；將直線化成極坐標方程代入圓的極坐標方程中，根據一元二次方程的根與系數的關系和極徑的幾何意義求解.

類型4.求面積

評注：本題考查極坐標方程以及參數方程的應用，重點是極徑與極角的幾何意義的應用，考查綜合應用所學知識的能力，解答問題的能力，需要學生積累關于極徑解題的經驗.

類型5.求參數

(Ⅰ)若a=2，求曲線M的極坐標方程；

解析：(Ⅰ)易求得曲線M的極坐標方程為ρ=4cosθ.

評注：本題考查極坐標與參數方程的知識，關鍵是明確極坐標系中ρ和θ的意義，從而利用極坐標方程建立關于參數的等式來求解參數和距離.

類型6.求軌跡方程

例6.(2019·全國卷Ⅱ·文22理22)在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sinθ上，直線l過點A(4，0)且與OM垂直，垂足為P.

(Ⅱ)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.

評注：本題主要考查極坐標方程的應用，解題的關鍵是借助直角三角形邊角關系建立ρ和θ的等式，再根據P的位置確定極角的取值范圍，要求學生熟練運用極坐標方程進行運算.

極坐標方程的應用不只是在選考題中體現，還可以用它來巧妙地解決圓錐曲線中其他類型的問題，可以大大地降低運算的復雜度，在解題教學中值得推廣.

4.利用極坐標方程巧解圓錐曲線問題

類型1.求橢圓方程

類型2.求離心率

類型3.求線段長最值

例9.設拋物線y2=2x的右焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，則|AF|+4|BF|的最小值是________.

類型4.求面積最值

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)過F1作兩條互相垂直的直線l1，l2，與橢圓分別交于P，Q，M，N四點，求四邊形PMQN面積的取值范圍.

類型5.求參數

評注：利用極坐標的幾何意義解圓錐曲線問題的類型很多，在此不一一列舉，運用角度形式的極徑解題，不但可以秒殺一類涉及圓錐曲線中過焦點的弦的相關問題，而且避免了聯立方程組帶來的極其復雜的運算，相比標準答案提供的解法，文中介紹的方法不僅省時省力，且準確率高，但很多學生會忽略這種解題的方法，希望教師在復習備考時應多引導學生關注極坐標方程中極徑的幾何意義的應用，這樣會事半功倍.

5.教學啟示

近些年全國卷關于極坐標與參數方程的選考題考查類型比較平穩，一般第一問是三類方程的互化，第二問經常會出現最值問題、長度問題、面積問題、軌跡問題、函數問題、存在性問題等，難度有加大的趨勢，考查內容逐漸向幾何意義靠攏，化為普通方程解答計算量大，思維的難度也大，切實體現了極坐標與參數方程解題的優越性；所以解決此類問題的思路通常是：若方程的幾何意義不明顯，可以考慮轉化為直角坐標方程，用普通方程的方法解決；若方程的幾何意義明顯，則用參數方程和極坐標方程解題會更簡單.在復習備考中，要讓學生強化對極坐標與參數方程本質的理解，重點突破解題中用“極”、“參”還是“直”，靈活應對選考題中各類問題，從而提高復習備考效率.