重視基礎、把握本質、領悟思想方法
——2019年全國卷Ⅲ理科第18題評析與備考建議

安徽 任 靜 祝 峰

1.試題呈現

(Ⅰ)求B；

(Ⅱ)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

2.命題分析

試題情境熟悉，條件簡單清晰，表達言簡意賅，構思巧妙，有效規避“題型”、“套題”.在核心素養導向下，樸實中重“四基”，常規中考“四能”.在三角形問題情境中，著眼于三角變換公式、三角函數的性質、正余弦定理等知識點，考查了學生的邏輯推理、數學運算和直觀想象數學核心素養.

3.失分點分析

(1)三角變換出錯.三角變換公式是解決三角形問題的基本工具，三角變換出錯是低級失誤，說明基礎知識掌握不牢.

(3)忽視挖掘題目條件.解題過程中應深刻領會題目條件，B=60°，銳角三角形中僅考慮A、B均為銳角不夠，還應兼顧A+C=120°，意識不到這一點，C的范圍求解就會出錯，導致求不準S△ABC的范圍.

(4)抽象能力不夠.三角形面積有取值范圍，則其在變化，變化的原因是什么？能否在函數思想的統領下，輔以幾何直觀等手段，發現變化的根本原因，抽象出范圍問題的求解模型，如“函數模型”、“不等式模型”等，做不到這一點，會導致思維混亂、無路可走、望題興嘆.

4.試題探究

第(Ⅰ)問

第(Ⅱ)問

角度一：視面積為角的函數

角度二：視面積為邊的函數

【評析】視三角形形狀的不確定性由邊a的變化導致，S△ABC是a的一次函數，求出定義域即可求出函數的值域，側重于余弦定理的應用.

角度三：借助幾何直觀

【評析】利用圖形描述和分析問題，把復雜抽象的數學問題直觀化、形象化，是直觀想象素養的體現.論證求解過程需輔以必要的文字和符號說明.

角度四：坐標運算

【評析】在平面直角坐標系中，圖形的幾何特征可以“坐標化”、“方程化”，用方程、不等式的運算解決圖形的幾何特征，這是解析法的基本思想.

5.試題本源及變式

(1)問題的本源

(2)試題條件設置的變式

∠B=60°表現在邊的關系上是a2+c2-b2=ac，能得到這一結論的條件設置方法是多樣的，下述表達均具有同樣的效果：

(2)acosB+bcosA=2ccosB；

(6)(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC.

(3)銳角三角形中∠B=60°，c=1，求△ABC面積取值范圍的變式

(1)求角C的取值范圍；

(2)求角A的取值范圍；

(3)求三角形周長的取值范圍；

(4)上述問題去掉銳角三角形的條件限制又會怎樣？

(4)更廣視角

在三角形ABC中，已知∠B=60°，和其中一個鄰邊c=1，可求S△ABC的取值范圍.若保持條件∠B=60°不變，做以下變換，同樣可求S△ABC的取值范圍.

(1)已知對邊：∠B=60°，b=2，求S△ABC的取值范圍；

(2)已知對邊的中線：∠B=60°，D為AC的中點，BD=1，求S△ABC的取值范圍.

6.教學啟示及備考建議

(1)規避題型、套題

從這道試題可見，高考試題重視基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的考查.不能把數學的學習完全定位在考試上，這樣會導致教與學都變得很功利，不能只注重“題型”、“套題”的模式化重復訓練，而忽視“四基”的落實.高考備考中，解題訓練是必要的，但一味追求大量訓練，反復總結題型，對各種問題進行“分門別類”，期待考試的時候能對號入座，不顧知識形成和發展過程、忽視問題中數學本質的揭示，舍棄思想方法提煉的做法是低效的.比如正、余弦定理，僅強調它們的結構形式及每個定理能解的三角形類型，不去發掘兩定理產生的原因，以及兩定理結構形式所對應的思想方法，面對具體問題時學生依然會束手無策.這要求我們在教學中不能只讓學生接受現成的結論，只有適時引導學生在具體的問題情境中親身經歷發現問題、提出問題，進而分析和解決問題，才有利于數學學習水平及能力的提高.

(2)注重數學知識之間的聯系

數學知識與其他學科知識是聯系的，數學學科內部各知識點之間也有著密切的聯系，特別是素養導向下的高考數學解答題，基本上會綜合考查高中數學中各個分支中不同的知識.高考常在知識點的交匯處命題，本道試題的上述探究過程中，涉及三角變換的基本公式、三角函數性質、正、余弦定理、初中平面幾何知識、平面向量、解析幾何等相關知識點.因此，在教學中，特別是高三備考復習課中，應闡明高中數學各分支知識點之間的邏輯關系，注重各分支不同數學知識之間的內在關聯和邏輯體系，提高學生對高中數學的整體認識，比如函數與方程、不等式的聯系；向量工具性在相關問題中的體現等.

(3)把握本質、突出思想

基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗是發展學生數學核心素養的載體，強調“四基”就是要把握數學的本質，在高考備考的教學中，讓學生熟練掌握，感悟知識所蘊含的數學基本思想，積累數學思維和實踐經驗，只有在這個基礎上才能促使學生逐步提升數學思維能力，形成和發展核心素養.這就要求教師應設計并實施合理的教學活動，引導學生自己“悟”出數學問題的本質及思想，啟發學生主動參與數學學習的各個環節.僅靠死記硬背、機械模仿無法讓學生理解問題的本質，更無法讓學生感悟數學的基本思想，形成和發展核心素養也就會是無源之水、無本之木，也就無法讓學生適應素養導向下的高考試題.