追本溯源 演繹精彩
——2019年清華大學自主招生第13題尋解之旅

陜西 李 歆

大學自主招生是深化高校招生制度改革的一項重要舉措，也是促進中學素質教育全面發(fā)展的有效途徑.大學自主招生數(shù)學試題往往具有難度大，思路活，方法巧等特點，對大學選拔優(yōu)秀學生和中學數(shù)學教學具有一定的方向性和指導性.研究大學自主招生數(shù)學試題，從命題背景、解題思路以及方法策略等方面進行深入思考，并站在學生的視角對問題進行解前分析和解后點評，讓更多的學生不因遇到大學自主招生試題而煩惱，讓更多的學生與大學自主招生試題結為好友，從而在大學自主招生考生中脫穎而出，應該成為廣大教師教學的一條專業(yè)成長之路.

一、看似簡單，實則不易的考題

1.試題呈現(xiàn)

問題1.(2019·清華大學自主招生·13)若正實數(shù)a，b滿足ab(a+8b)=20，則a+3b的最小值是________.

此題看上去與普通問題沒有區(qū)別，但思考起來卻不是很順利，對考生分析和解決問題的綜合能力要求較高.

2.解法探尋

由于已知條件中含有三次式的結構，而所求問題式只是一次式的線性結構，不能將已知條件中的兩個變量單獨分離出來，因此用常規(guī)的解題工具——均值不等式難以找到出路.注意到所求問題式是一次式，不妨借助換元法，將所求問題式看成一個新的變量，然后利用函數(shù)與方程思想試一試.

尋解1：令t=a+3b，則t>0，將a=t-3b代入已知條件，整理得15b3-2tb2-t2b+20=0 (1)，

由題意可知，三次方程(1)有正實數(shù)解.

故a+3b的最小值是5.

點評：此解通過換元之后，巧妙地利用導數(shù)這個解題工具，以三次方程(1)的正實數(shù)解為主線，使問題得以圓滿解決，但縱觀這個解法，知識含量和思維空間都比較大，一般學生很難理解.同時，這種解法有一個致命的弱點，就是所求問題式必須是線性的，如果將所求問題式換為非線性的，比如二次式a2+3b2，那么這種解法就會失效.況且，作為一道填空題，這種解法似乎有“小題大做”之意.因此，探尋其他解法，不僅很有必要，而且十分有意義.

二、追本溯源，從基礎題做起

1.一道基礎題

問題2.已知正數(shù)a，b滿足ab(a+2b)=2，則a+b的最小值是________.

很顯然，問題2與問題1十分相似，只是已知條件和所求問題式中的“線性系數(shù)”不同而已.對于問題2，如果按照問題1的解法去處理，則顯得復雜一些.因為把已知條件稍作變形后，就會得到b(a2+2ab)=2，這時等式左邊括號里面恰好是(a+b)2展開式中的前兩項，由此可以獲得如下解法.

1.1 一種漂亮解法

點評：由于問題1和問題2中“線性系數(shù)”的差異，導致問題1無法用問題2的方法完成，但問題2的解法卻意外的給了我們一種啟示，就是用平方法處理線性最值問題，即在已知條件下，如何快捷、高效地處理二次齊次式ma2+nab+kb2的最值問題.

1.2 一種錯誤解法

有位學生在解問題2時，將已知條件也作了變形，結果卻得到了下面的錯解.

2.幾道變式題

2.1由錯誤解法引發(fā)的變式

在數(shù)學解題過程中，學生出現(xiàn)錯誤是很正常的一件事，在這種情況下，教師切不可輕易地放棄學生的解題思路，強制要求學生按照教師提供的方法來完成解題，那樣往往會阻礙學生思維的發(fā)展，甚至扼殺學生的創(chuàng)造性思維.因此，教師要善于從學生出現(xiàn)的問題中辯證地分析錯因所在，做到因勢利導，對癥下藥，這樣才能準確醫(yī)治學生的“思維傷口”，引領學生思維沿著正確的方向前行.

可以看出，上面這位學生的解題方向值得肯定，導致解法錯誤的根源在于等號成立的條件前后不一致，如果改變一下已知條件和所求問題，那么會怎么樣呢？由此引發(fā)出變式1.

變式1.已知正數(shù)a，b滿足ab(a+2b)=10，則a2+5ab+b2的最小值是________.

故a2+5ab+b2的最小值是15.

點評：此解法與上述錯解的過程幾乎完全一樣，只是某些式子的結構不同，由此說明，在學生錯誤解法的背后的確隱藏著可以借鑒的和有用的東西，值得教師在教學中加以正確引導，讓學生學會找錯和改錯，從而在錯誤的源頭上徹底清除學生的思維障礙，打通走向成功的希望之路.

2.2改變所求問題式的結構引發(fā)的變式

對于變式1，如果已知條件不變，改變一下所求問題式的結構，那么解法會改變嗎？

變式2.已知正數(shù)a，b滿足ab(a+2b)=10，則13a2+17ab+7b2的最小值是________.

容易發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)沿用變式1的解法是徒勞的，讓我們的思路往回走，面對問題2的解法想一想，能否得到啟示呢？

故13a2+17ab+7b2的最小值是75.

點評：把所求問題式進行拆項處理，并將(1)式和(2)式代入后，則巧妙地消去了ab，從而使下一步再拆項水到渠成，同時為均值不等式的運用搭建了平臺.

變式3.已知正數(shù)a，b滿足ab(a+2b)=10，則2a2+2ab+b2的最小值是________.

與變式2相比較，所求問題式的各項系數(shù)變小了，按理來說求解應該方便一些，但事實恰恰相反，直接用變式2的解法，對所求問題式進行拆項處理是行不通的，我們不妨將問題式各項的系數(shù)變大一些，則可以求解.

故2a2+2ab+b2的最小值是10.

點評：以上三種變式，已知條件相同，只是所求問題式的各項系數(shù)發(fā)生了變化，然而入手時的思路卻在處理細節(jié)上有所不同，由此從幾個不同的解題視角上，反映了二次齊次式ma2+nab+kb2的解題策略，揭示了“細節(jié)決定成敗”的解題內(nèi)涵.

三、條件成熟，優(yōu)美解法登臺

1.問題1尋解出彩

通過對上面的基礎題問題2以及三個變式的解法研究，問題1的第二次尋解已經(jīng)浮出水面，只需要將變式3的解法作一些數(shù)字修改即可.

故a+3b的最小值是5.

點評：很明顯，尋解2比尋解1要簡潔得多，而且尋解2僅僅用到了代數(shù)式的變形、平方、配項系數(shù)、拆項以及均值不等式，這些都是處理代數(shù)最值問題最常用的解題方法和基本工具，是數(shù)學教學中最為理想也是眾所期盼的解題途徑，因此，尋解2充分彰顯了數(shù)學解題基本方法的魅力和價值所在.

2.問題1的拓展變式

受問題1尋解2的啟發(fā)，在已知條件不變的情況下，將所求問題式變?yōu)槎畏驱R次的形式，可以得到以下兩個變式.

變式4.若正實數(shù)a，b滿足ab(a+8b)=20，則a2+15ab+21b2+5a的最小值是________.

故a2+15ab+21b2+5a的最小值是65.

變式5.若正實數(shù)a，b滿足ab(a+8b)=20，則a2+5ab+8b2+b的最小值是________.

故a2+5ab+8b2+b的最小值是23.

點評：由于所求問題式變得復雜一些，因此變式4和變式5相對于問題1又增加了難度，但是有了問題1的尋解2作為參考，以及問題2的三個變式精彩解法的能力提升，處理變式4和變式5便輕車熟路.

四、不忘初心，研究尚在路上

“問題是數(shù)學的心臟”，解決問題就是對心臟的維護和保養(yǎng).一個經(jīng)典數(shù)學問題的誕生，往往凝聚著命題者潛心研究和反復實踐的水平和智慧，對數(shù)學教學具有不可估量的作用.從問題2到問題1，雖然題型結構沒有發(fā)生改變，只是將已知條件和所求問題式中的“線性系數(shù)”作了簡單地調整，但解決問題的策略卻在細節(jié)上發(fā)生了質的變化和飛躍，單憑機械地模仿和借用問題2的解法處理問題1只能是“望洋興嘆”，由此說明從問題2到問題1的解題歷程還很遙遠.因此，在數(shù)學教學中，對問題2的處理如果就題解題，沒有后續(xù)的變式和教學，那么學生的思維就會被禁錮、被滯留，當問題1出現(xiàn)時就會“似曾相識”，卻“望而生畏”.因此，在數(shù)學教學中，教師要不忘初心，牢記研究永遠在路上，做問題變式及其教學的領路人，不斷開啟學生的思維智慧，在教學路上讓變式教學熠熠閃光.像上面的問題2，在順利完成解法之后，再進一步地做變式和拓展研究，通過變式1、變式2和變式3的教學，不僅讓學生從方法角度掌握此類最值問題的解決策略和思維鏈條，也讓學生從探究領域感悟到數(shù)學經(jīng)典問題的產(chǎn)生背景及其相互關系，當問題1及其變式出現(xiàn)時，思維就會跟著感覺走，在不知不覺中進入到“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的思維境界，從而實現(xiàn)由基礎知識題到能力水平題的思維大提升和大跨越.