導數壓軸題常用方法揭秘

福建 林進偉

(作者單位:福建省惠安第一中學)

導數是研究函數性質的重要工具，是高考的重點與難點，在高考中常作為壓軸題出現.由于它對思維能力要求高及解題方法靈活、難度大等特點，拿下導數壓軸題是取得高分的關鍵，也是一道難以邁過去的坎.本文就導數壓軸題中常見的解題策略及技巧進行系統的梳理和揭秘.

【典型題例】

【思路探析】

本題是含參的函數不等式求參數范圍的問題，解決這類題目的常規思路是分參.但此題不易分參，而且直接求導后，導函數又含有lnx,ex這兩個部分，這就給導函數正負的判斷帶來了很大的困難.為此，我們采用“對數單身狗，指數找基友”的策略先進行等價變形.

【詳解示范】

問題等價于ax+xe-ax-lnx-1≥0恒成立，令f(x)=ax+xe-ax-lnx-1，則f(x)≥0恒成立.

(ⅰ)當a=0時，f(x)=x-lnx-1≥0恒成立，所以a=0滿足條件；

又t(1)=ea-1<0，即t(x)在[n,1)中有唯一解x0且eax0=x0.

故只需ymin=f(x0)=ax0+x0e-ax0-lnx0-1≥0，

由eax0=x0，可得x0e-ax0=1,lneax0=ax0=lnx0，即f(x0)=0，

所以a<0滿足條件；

又因為f(xi)=axi+xie-axi-lnxi-1=0(i=1,2)，

綜上，a∈R.

【解后反思】

(3)解題過程中，利用零點的存在性定理說明導數零點的存在，用到了取點的方法，但也可以直接用極限判斷圖象的變化趨勢來說明，同時a=0與a<0可以合在一起討論.

(4)解題過程中，單調性與最值的確定還用到“隱零點的代換”技巧.即隱零點的處理一般用整體轉化、換元或者代換(把復雜部分如指、對數或高次部分換成較簡單的式子).

【問題】

【策略1】由于在式子結構中，與a有關的部分比較簡單，于是就視a為主元.

【策略2】利用ex≥x+1放縮法.

問題等價于證明:ax+xe-ax-lnx-1≥0.

由于ax+xe-ax-lnx-1=ax+elnx-ax-lnx-1≥ax+lnx-ax+1-lnx-1=0，

所以原不等式得證.

【反思】由于所證不等式與a相關的部分比較簡單，因此策略1采用“視a為主元”的解題策略，可以達到事半功倍的效果.而“放縮法”是基于把指、對數放縮成冪函數，從而降低求導之后判斷正負的難度的一種策略，既揭示了命題的意圖，又體現了問題的本質，但不易想到.

通過上述典例及問題的探究，基本覆蓋了解決導數壓軸題中常用的策略與技巧，如指數、對數函數的處理、主元思想、放縮法、隱零點代換等.通過詳細地分析與反思，可知其然而且知其所以然.下面再通過幾道高考真題來進一步熟悉與鞏固這些常用的策略與技巧.

【高考真題】

1.(2015·全國卷Ⅰ文·21)設函數f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)討論f(x)的導函數f′(x)的零點的個數；

【策略1】隱零點換元.

(Ⅰ)略；

又∵a=2x0e2x0，即證:e2x0-2x0e2x0lnx0≥4x0e2x0-2x0e2x0(lnx0+2x0)，

【策略2】視a為主元.

∴當x∈(0,2ex)時，g′(a)<0；當x∈(2ex,+∞)時，g′(a)>0，

即gmin(a)=g(2ex)=e2x-2exlnx-4ex+2exln(ex)=e2x-2ex，

然后求導，易證上式大于或等于0.

【評注】所證不等式與a相關的部分比較簡單，采用視a為主元的策略，最后求導之后極值點也可以表示出來，降低了難度.

【策略3】放縮法.

利用ex≥ex可得f(x)≥2ex-alnx，

【評注】所給函數是含指、對數的混合式，考慮采用放縮法.

(Ⅰ)求a,b的值；

∴a=b=1.

綜上可得，k∈(-∞,0].

【評注】第(Ⅱ)問如果直接求導，相當麻煩.由于不等式含有lnx，于是采用“對數單身狗”來簡化導函數.

∵當x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)時，f′(x)>0，

∴f(x)在(-∞,-2)和(-2,+∞)上單調遞增，

由(Ⅰ)知，f(x)+a單調遞增，對任意的a∈[0,1)，f(0)+a=a-1<0，

f(2)+a=a≥0，因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f(xa)+a=0，即g′(xa)=0，

當0

當x>xa時，f(x)+a>0，g′(x)>0,g(x)單調遞增.

因此g(x)在x=xa處取得最小值，最小值

【評注】該題第二問關鍵之處在于對g(x)求導之后的變型:除了轉化為f(x)之外，還體現了“指數找基友”的策略.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(ⅰ)若a≤2，則f′(x)≤0，當且僅當a=2，x=1時f′(x)=0，

所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當且僅當a>2時，f(x)存在兩個極值點.

由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨設0

【評注】該題第(Ⅱ)問是隱零點的處理，這里利用韋達定理，找到兩個極值點x1與x2的聯系，再利用x1x2=1換元，變成單變量的恒成立問題.