一道平面向量試題的多種解法及其拓展引申

廣東 葉土生

(作者單位:廣東省廣州外國語學校)

一、提出問題

在一次我校與其他兄弟學校的聯考中，填空題的壓軸題是一道向量背景的題目，其題設如下:

本題總體得分率不高，很多的學生是從解三角形的角度研究本問題.向量是高中數學的重要組成部分，其本身自成一知識體系，其既有代數運算，又有幾何直觀的雙重特性，還可以與其他知識(如函數、解析幾何、三角函數)相互滲透，從而使得向量的考查形式變得豐富多彩.本文力求從多視角給出本題的解答并給出變式，希望對讀者有所幫助.

二、試題的多種解法

以下是筆者在講評試卷過程中，和學生一起探討得到的多種解法.

以上解法通過建立平面直角坐標系，即解析法解決此題，思路簡單且容易操作，是這一類問題的常見解法.向量有其特有的運算性質，蘊含著豐富的數學思想方法，而一道向量的問題僅僅給出解析法，就顯得有點意猶未盡，而且從開發學生數學思維角度考慮，也需要對一個問題從多個角度研究解決方法，在講評了解析法后筆者又引導學生一起探究其他三種解法.

課后，筆者的一位姓潘的學生給出了以下的解法，不妨稱為“潘氏解法”.

解法四:(“潘氏解法”)

所以有6x+9y=5.

【評注】“潘氏解法”比以上幾種方法都來的自然，并且運算量更小.他充分利用了幾何性質，將代數與幾何緊密地聯系到一起，充分利用幾何這一向量的“靈魂”，解法非常漂亮.從潘同學的解法也可以看出他可能得到前面幾種解法的提示，也可能獨立思考得到結果.這也提醒筆者在后續的教學中要充分利用好每一個“好題”，提升學生的數學思維能力，引導學生敢思考、主動思考、會思考.

三、試題的拓展引申

問題的題設給出了兩邊和一個夾角，從三角形的角度看，是一個確定性的問題.如果把條件弱化，是否可以有其他考查形式呢？筆者順著這個想法在后續的課堂給出了兩種改編，目的也是為了讓學生學會從多個角度看待一個問題，提升學生能力.

分析:本題將△ABC兩邊的條件去掉，只給出角A的大小，△ABC是一個不確定圖形，需要學生學會轉化.本題的解決方法也可以有多種形式，但借用“潘氏解法”思路將會更加自然，以下給出“潘氏解法”思路，其他方法請讀者自行思考.

解:如圖，設AB=c，AC=b，取AB的中點D,AC的中點E，

則有OD⊥AB，OE⊥AC，所以

【評注】本題條件中沒有給出三角形的邊長，但當假設邊長后就可以把問題轉化為原問題的模型，所以解題思路是一樣的，最后利用基本不等式得到最值.

【評注】本題將三角形的條件弱化，從題目的形式看這與前兩個問題屬于不同類型，但仔細分析發現它們都有很多的共同點，本質是一樣的，所以解題方法也類似，最后采用整體代入得到結果.

四、反思

波利亞的數學教育思想中包含這樣一個基本觀點:數學具有雙重性——數學既是演繹科學，又是歸納科學.在新課程的理念中，需要我們通過各種各樣的教學方式提高學生的思維能力.探尋“一題多解”是提升學生發散性思維能力的過程，這是一個具有層次性的演繹過程，它在本質上與提升學生歸納思維能力的“通性通法”是相輔相成的，二者也是辯證統一的.新一輪課程改革正如火如荼地推進，對于課堂時效性的要求也越來越高.作為高中數學課堂的一線教師，就必須提高例題的典型性，并引導學生探究、概括一類問題的解法.通過“一題多解”可以開闊學生的思路，避免不假思索地做題.一題多解也是不少數學教師在解題教學時經常進行的一種教學方式，但是一題多解不能只是簡單地展示一道習題的多樣化解法，這對于提高解題教學效率意義不是很大.我們認為，要努力通過一題多解促進學生深刻理解與考題相關聯的不同知識點，這才是一題多解的重要意義所在.