忽視隱含條件導致錯解問題分析

山東 史立霞 秦 振

數學問題中的“隱含條件”，就是指在題目中未明確表達出來，而客觀上已存在的條件.“隱含條件”往往隱含在有關概念、性質和知識的內涵中，若明若暗、若隱若現、含而不露，極易被忽視，從而導致解題出錯或解答不完整，甚至造成解題困難.因此，分析易錯題的類型，找出解題中的錯誤，研究改正錯誤的方法，從中吸取教訓是我們學好數學，提高數學素養的有效途徑.

一、忽視已知條件之間的約束限制

二、未注意條件的隱含作用

【例2】設A，B是一個三角形的兩個內角，且tanA，tanB是方程x2+mx+m+1=0的兩個實根.求tan(A+B)的值并確定m的取值范圍.

【錯解】利用根與系數的關系，得

【分析】錯因是沒有考慮條件A，B是一個三角形的兩個內角，對tanA，tanB限制的這個隱含條件.而這個隱含條件影響方程的兩個根的范圍，因此也影響m的取值范圍.

【正解】利用根與系數的關系，得

三、未考慮Δ的制約

【分析】由于審題不細，沒有注意到方程3x2+(4m+4)x+2m2+4m-1=0有實根，即Δ>0這一隱含條件對參數m的限制，使m=y-x中x，y的范圍擴大，造成錯誤.

四、忽視定義中的隱含條件

【例4】設等比數列{an}的公比為q，k∈N，k為常數，bn=a(n-1)k+1+a(n-1)k+2+…+ank(n=1，2，3…).試判定數列{bn}是否是等比數列？如果是，求出其公比；如果不是，請說明理由.

【錯解】由bn=a(n-1)k+1+a(n-1)k+2+…+ank，bn+1=ank+1+ank+2+…+a(n+1)k，

=qk(常數),所以數列{bn}是等比數列，且公比是qk.

【分析】表面上看沒有問題，實際上忽視了等比數列定義中的一個隱蔽性質，即等比數列的任何一項都不能等于零.由上面錯解bn=a1q(n-1)k(1+q+…+qk-1)，若1+q+q2+…+qk-1=0，則數列{bn}的各項都為零，顯然不是等比數列.請大家注意：“把等比數列依次連續地每k項分成一組，則各組數的和也構成等比數列”是不正確的.

【正解】由錯解，當1+q+q2+…+qk-1≠0，即q≠-1與k是偶數不同時成立時，數列{bn}是等比數列，公比為qk.

當1+q+q2+…+qk-1=0，即q=1且k是偶數時，數列{bn}是各項都為零的常數列，它不是等比數列.

五、未注意變量間的制約作用

六、未注意函數定義域的限制

【分析】錯因是審題不細，沒有考慮隱含條件函數的定義域對函數的制約作用，導致錯誤.

七、忽視兩個變量之間的區別與聯系(傾斜角與斜率)

八、未注意方程的“常數”中隱含的條件

( )

九、未注意定理成立的隱含條件

【例9】若函數y=f(x)與y=g(x)是[a,b]上的兩條光滑曲線，且兩條曲線在[a,b]上不相交，則這兩條曲線及直線x=a，x=b所圍成的平面區域的面積為

( )

【錯解】由定積分的定義及幾何意義可知，D正確.

十、未注意公式成立的隱含條件

【例10】已知數列{an}是一個公差大于0的等差數列，且滿足a3a6=55，a2+a7=16.

(1)求數列{an}的通項公式；

【正解】(1)略.

十一、忽視實際應用問題隱含的條件

【例11】要將大小不同的甲、乙兩種木板截成A，B，C三種不同規格的木板，每種木板可同時截得三種規格的木板的塊數如下表：

A種規格B種規格C種規格甲種木板121乙種木板113

每種木板的面積，甲1 m2，乙2 m2.現在需要A，B，C三種不同規格的木板12，15，27塊，問在滿足需要的情況下，使用的甲、乙兩種木板面積和最小值為多少？

【分析】錯因是沒有考慮實際問題中的隱含條件：木板的需要量是一個正整數，而導致錯誤.

在解題過程中，若能及時發現和運用隱含條件，不僅可以迅速找到解題的突破口，使解題過程簡單、清晰，還可以促進我們對各種基礎知識的融會貫通，逐步培養全面分析問題和解決問題的能力，這也是實施素質教育,提高學生數學素質的重要舉措.