以形助數突破解三角形中的最值問題

云南 唐明超

解三角形是高考數學的重點和熱點，試題往往聚焦三角形的三邊與三角這六個基本元素，以邊角關系或是面積關系為背景考查正弦定理與余弦定理，突出考查邏輯推理和數學運算等核心素養.雖然解三角形所考查的核心知識點都較為熟悉，也容易掌握解三角形的基本思路及一般方法，但是在處理三角形的面積、邊或角的取值范圍等問題時往往存在困難，不能做到準確求解，即使最終能夠得出正確答案也需要大量的時間去完成復雜的推理與運算，不能夠高效地解決問題.原因是沒有充分挖掘問題的幾何背景導致對幾何性質的運用不能恰到好處，只能依賴于復雜的數學運算與推理過程且費時費力.文章重點闡述解三角形問題中常見的幾何背景，分析挖掘幾何背景的基本策略，做到準確識別命題意圖，找準命題出發點，挖掘問題本質，用好幾何性質解決一類三角形基本量的取值范圍問題.

類型1 借助三角形的外接圓解決面積的最值問題

例1(2014·全國卷Ⅰ理·16)已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為________.

解法評析：試題屬于常規的解三角形問題，已知三角形的邊角關系，要求靈活選用正弦定理或余弦定理將三角形的邊角關系進行轉化與化歸，進而求解三角形的基本量.在運算過程中既用到了正弦定理和余弦定理，還用到了基本不等式，這些都是解決三角形問題的核心知識點.但是整個解題過程較復雜，難免有小題大做的嫌疑，這是完全依賴于代數運算的不足之處.如能認真思考問題背后所隱藏的幾何特征，充分挖掘幾何背景，實現以形助數，便可輕松破解該問題.

解法評析：幾何法充分利用了問題背后所隱藏的外接圓這一背景，將復雜的代數運算進行優化，只需要直接觀察圖形中動點的變化情況，根據幾何關系直觀判斷，以形助數，則可快速得出結果.法2明顯優于法1，解題效率也更高，掌握該方法對于發展學生的抽象概括能力與數學建模核心素養更為有利，這也真正體現了試題的育人價值.

類型2 以阿波羅尼斯圓為背景的三角形面積問題

解析：試題中的邊角關系明確，可以借助余弦定理得出三角形一個內角的余弦值的表達式，進而利用三角恒等變換得出其正弦值的表達式，再用面積公式得出三角形面積的表達式，最后將面積看成是邊長的函數并利用函數的單調性得出三角形面積的最大值，具體解答過程如下.

解法評析：基于余弦定理與面積公式實現邊角關系的轉化，再借助三角恒等變換與函數的單調性進行解答雖然屬于常規解法，具有起點低、容易入手等特點，但是運算過程較復雜，對數學運算能力要求較高，解題所需時間較長，不是較優解法，需要改進.

解法評析：充分挖掘問題背后隱藏的幾何特征，將數量關系幾何化，給數量關系找到恰當的幾何載體，可以化抽象為直觀，化難為易，有效降低運算難度，快速解決問題.阿波羅尼斯圓是一個聯系數量關系與幾何特征的典范，也是數學史上的一個重大發現，借助阿波羅尼斯圓解決三角形面積的最值問題對發展學生的數學建模核心素養具有重要意義，也有利于學生了解數學文化，掌握知識的發生與發展邏輯.

類型3 以四邊形外接圓為背景的解三角形問題

(1)求DC；

解析：試題所呈現的是有一條公共邊的兩個三角形復合而成的四邊形問題，本質還是解三角形，靈活用好正弦定理與余弦定理可以完成對該題的解答，這也是解三角形的常規思路和一般方法.

解法評析：常規解法的特點是容易入手，起點較低，但是要能順利解決問題往往需要通過復雜的推理與運算過程，而且在運算的過程中容易出現錯誤.本題的關鍵是四邊形內角B與角D互補，而且∠BAC=45°，∠DAC=60°均屬于特殊角，如能基于該條件大膽猜想公共邊是該四邊形外接圓的直徑，解答過程將會更加簡潔，具體解答過程如下.

類型4 以橢圓為背景的解三角形問題

例4在△ABC中，a,b,c分別為三個內角A,B,C的對邊，已知a+c=2b，則角B的取值范圍為________.

解法評析：沒有經過復雜的推理運算便可得出正確答案，這就是挖掘并用好幾何性質的重要價值，這與命題者的構題思路不謀而合，所以準確識別命題者的命題意圖，挖掘命題的出發點以及試題背后的幾何關系是解決問題的最佳途徑.

學必有法而學無定法，重難點問題的突破絕不能單一地依靠重復的解題訓練來完成，還需要嘗試挖掘問題的本質屬性，基于已有知識經驗尋找知識點之間的邏輯聯系，揣測命題意圖以及探究試題背后所隱藏的數學本質，盡可能地契合命題者的思想，在解決問題的過程中實現知識與能力的雙重提升.數缺形時少直觀，形缺數時難入微，這是數形結合思想的重要意義.數學的學習過程關鍵在于悟，要學會感悟知識的發生與發展的過程，體會知識間的邏輯聯系，構建數學知識體系，最終達到能綜合運用所學知識高效解決實際問題的目的.這也正是新課標中要學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界的具體要求.以形助數，以數輔形是數學知識的本質屬性，學會挖掘變化的問題背后所隱藏的不變的數學本質是數學學習的重要任務.這不僅可以提高解題效率，更重要的是能更好地提高數學核心素養，優化數學思維，形成適應社會發展所必需的關鍵能力和必備品格.